Étude d’une fonction avec racine cubique et tracé de sa courbe — Exercice corrigé en vidéo

Étude d’une fonction avec racine cubique

Variations et tracé de la courbe — Exercice corrigé en vidéo

Présentation de l’exercice

Cette ressource est consacrée à l’étude d’une fonction faisant intervenir une racine cubique. L’objectif est d’organiser les différentes étapes de l’étude, puis de construire la représentation graphique de la fonction.

L’énoncé est présenté sous forme d’image et la résolution est accompagnée d’une vidéo. Il est conseillé de traiter l’exercice avant de consulter la correction.

Niveau 2e Bac PC/SVT

Chapitre Étude de fonctions

Thème Fonction avec racine cubique

Objectif Étude et tracé de la courbe

Objectifs pédagogiques

• déterminer l’ensemble de définition de la fonction ;
• calculer les limites demandées ;
• étudier la dérivabilité et les variations ;
• repérer les éléments utiles au tracé de la courbe ;
• construire une représentation graphique cohérente.

Méthode conseillée : commencer par étudier le domaine, les limites et la dérivée. Utiliser ensuite le tableau de variations et les éventuels points remarquables pour construire progressivement la courbe.

Grandes étapes de construction de la courbe

1. Déterminer le domaine de définition. La courbe ne doit être tracée que pour les valeurs de x appartenant au domaine de la fonction. Les bornes du domaine doivent être repérées sur l’axe des abscisses.
2. Étudier les limites aux bornes du domaine. Ces limites permettent de connaître le comportement de la courbe près des extrémités du domaine et de repérer, lorsqu’elles existent, les asymptotes verticales ou horizontales.
3. Calculer la dérivée et établir le tableau de variations. Le signe de la dérivée indique les intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante. Les extremums éventuels doivent être placés avec leurs coordonnées.
4. Rechercher les points remarquables. On place notamment les intersections avec les axes, les valeurs simples de la fonction et les points déjà obtenus dans l’étude. Une tangente n’est tracée que lorsqu’elle a été demandée ou déterminée dans l’exercice.
5. Reporter les asymptotes et les directions des branches infinies. Les asymptotes doivent être tracées en pointillés. La courbe doit ensuite respecter les résultats obtenus par les limites.
6. Choisir une échelle adaptée. L’unité choisie doit permettre de faire apparaître clairement les points remarquables, les variations et les asymptotes sans déformer la courbe.
7. Tracer progressivement la courbe. On relie les points en respectant le sens des variations, les positions par rapport aux asymptotes et le comportement aux bornes du domaine. Le tracé doit être régulier et cohérent avec tout le tableau de variations.
8. Effectuer une vérification finale. La courbe obtenue doit être compatible avec le domaine, les limites, les extremums, les points remarquables et les asymptotes déterminés dans l’étude.

Conseil de rédaction : avant le tracé, regrouper sur le brouillon le domaine, les limites, le tableau de variations, les asymptotes et les points remarquables. Cette synthèse évite les incohérences entre les calculs et la représentation graphique.

Énoncé de l’exercice

Correction vidéo

Suivre la résolution après avoir essayé de traiter l’exercice.

Comment exploiter la correction ?

• mettre la vidéo en pause avant chaque nouvelle étape ;
• comparer la méthode utilisée avec votre propre solution ;
• noter les résultats nécessaires au tracé de la courbe ;
• refaire l’exercice sans consulter la vidéo.

Remarque : la vidéo est intégrée depuis YouTube. Son affichage dépend de la disponibilité du service et des réglages du navigateur.

Ressource proposée par M. Hammou Boudraa — Professeur de mathématiques au Lycée Oum Rabiaâ, M’rirt