Correction — Concours Médecine Maroc 2022 — Mathématiques
Correction pédagogique de la partie mathématiques.
Session 2022 — 20 QSM — Durée indiquée : 45 minutes.
Chaque QSM est rappelée puis corrigée avec une justification claire et directement utile à l’élève.
Cette correction met en avant l’idée mathématique principale, les calculs nécessaires et les justifications à retenir.
Tableau final des réponses
| QSM | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Réponse | C | A | D | C | A | B | D | B | D | B | A | D | B | B | C | A | D | B | A | E |
Correction détaillée des QSM
Question 1
On demande de résoudre dans \(\mathbb C\) :
\[ \frac{2z-1}{z+1}=z. \]Avant de multiplier par un dénominateur, il faut vérifier qu’il n’est pas nul. Ici : \[ z+1\ne0 \quad \Longleftrightarrow \quad z\ne-1. \]
Le quotient impose d’abord :
\[ z\ne -1. \]On résout maintenant :
\[ \frac{2z-1}{z+1}=z. \]Comme \(z\ne-1\), on peut multiplier par \(z+1\) :
\[ 2z-1=z(z+1). \]Donc :
\[ 2z-1=z^2+z. \]On ramène tout dans le même membre :
\[ z^2-z+1=0. \]Le discriminant est :
\[ \Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3. \]Comme \(\Delta\lt0\), les solutions complexes sont :
\[ z=\frac{1\pm i\sqrt3}{2}. \]Ces deux valeurs sont différentes de \(-1\), donc elles sont bien acceptées.
Réponse correcte : C
Question 2
On sait que \(f\) est solution de l’équation différentielle :
\[ y''+2y'+4y=0. \]On pose \(g=2f\). On demande si \(g\) vérifie la même équation.
Une équation différentielle linéaire homogène conserve ses solutions par multiplication par une constante. On peut aussi le vérifier directement en remplaçant.
On sait que \(f\) vérifie :
\[ f''+2f'+4f=0. \]On pose :
\[ g=2f. \]Alors, en dérivant :
\[ g'=2f', \qquad g''=2f''. \]On remplace dans l’équation :
\[ g''+2g'+4g = 2f''+2(2f')+4(2f). \] Donc : \[ g''+2g'+4g = 2f''+4f'+8f. \]On factorise par \(2\) :
\[ g''+2g'+4g = 2(f''+2f'+4f). \]Or :
\[ f''+2f'+4f=0. \] Donc : \[ g''+2g'+4g=0. \]Ainsi \(g\) vérifie bien la même équation différentielle.
Réponse correcte : A
Question 3
On considère :
\[ z=e^{ix}-e^{-ix}, \qquad x\in]0,\pi[. \]On demande \(|z|\).
La formule d’Euler donne : \[ e^{ix}=\cos x+i\sin x, \qquad e^{-ix}=\cos x-i\sin x. \] Donc : \[ e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin x. \]
On utilise directement :
\[ e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin x. \]Donc :
\[ z=2i\sin x. \]On calcule alors le module :
\[ |z|=|2i\sin x|. \]Par multiplicativité du module :
\[ |z|=2|i|\,|\sin x|. \] Or : \[ |i|=1. \] Donc : \[ |z|=2|\sin x|. \]Comme \(x\in]0,\pi[\), on a :
\[ \sin x\gt0. \] Ainsi : \[ |z|=2\sin x. \]Réponse correcte : D
Question 4
On demande de calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n-\sqrt{n^2-n}\right). \]Une différence contenant une racine se traite souvent par multiplication par le conjugué : \[ a-\sqrt b=\frac{a^2-b}{a+\sqrt b}. \]
On considère :
\[ n-\sqrt{n^2-n}. \]C’est une forme indéterminée du type \(+\infty-\infty\). On rationalise :
\[ n-\sqrt{n^2-n} = \frac{\left(n-\sqrt{n^2-n}\right)\left(n+\sqrt{n^2-n}\right)} {n+\sqrt{n^2-n}}. \]Au numérateur :
\[ n^2-(n^2-n)=n. \] Donc : \[ n-\sqrt{n^2-n} = \frac{n}{n+\sqrt{n^2-n}}. \]On divise par \(n\) :
\[ \frac{n}{n+\sqrt{n^2-n}} = \frac{1}{1+\sqrt{1-\frac1n}}. \]Lorsque \(n\to+\infty\), on a :
\[ 1-\frac1n\to1. \] Donc : \[ \sqrt{1-\frac1n}\to1. \]Finalement :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n-\sqrt{n^2-n}\right) = \frac1{1+1} = \frac12. \]Réponse correcte : C
Question 5
On sait que :
\[ \arg(iz)\equiv \frac{7\pi}{6}\ [2\pi], \qquad |z|=\sqrt2. \]On demande la partie imaginaire de \(z^3\).
Multiplier un complexe par \(i\) revient à ajouter \(\frac{\pi}{2}\) à son argument : \[ \arg(iz)\equiv \arg z+\frac{\pi}{2}\ [2\pi]. \]
On sait que :
\[ \arg(iz)\equiv \frac{7\pi}{6}\ [2\pi]. \]Or :
\[ \arg(iz)\equiv \arg(z)+\frac{\pi}{2}\ [2\pi]. \]Donc :
\[ \arg(z)\equiv \frac{7\pi}{6}-\frac{\pi}{2} \ [2\pi]. \]On met au même dénominateur :
\[ \frac{7\pi}{6}-\frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{6}-\frac{3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}. \] Donc : \[ \arg(z)\equiv \frac{2\pi}{3}\ [2\pi]. \]Le module de \(z^3\) vaut :
\[ |z^3|=|z|^3=(\sqrt2)^3=2\sqrt2. \]L’argument de \(z^3\) vaut :
\[ 3\arg(z)\equiv 3\cdot\frac{2\pi}{3}=2\pi\equiv0\ [2\pi]. \]Donc \(z^3\) est un réel positif :
\[ z^3=2\sqrt2. \]Sa partie imaginaire est donc :
\[ 0. \]Réponse correcte : A
Question 6
On considère les points :
\[ A(1,2,3), \qquad B(2,0,1). \]On cherche l’ensemble des points \(M(x,y,z)\) équidistants de \(A\) et \(B\).
L’ensemble des points équidistants de deux points \(A\) et \(B\) est le plan médiateur de \([AB]\). On l’obtient avec : \[ MA^2=MB^2. \]
Soit \(M(x,y,z)\). La condition d’équidistance est :
\[ MA=MB. \]On élève au carré :
\[ MA^2=MB^2. \]Avec \(A(1,2,3)\), on a :
\[ MA^2=(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2. \]Avec \(B(2,0,1)\), on a :
\[ MB^2=(x-2)^2+y^2+(z-1)^2. \]Donc :
\[ (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2 = (x-2)^2+y^2+(z-1)^2. \]On développe :
\[ x^2-2x+1+y^2-4y+4+z^2-6z+9 \] \[ = x^2-4x+4+y^2+z^2-2z+1. \]On simplifie les termes \(x^2,y^2,z^2\), puis on regroupe :
\[ 2x-4y-4z+9=0. \] Donc : \[ 2x-4y-4z=-9. \]Réponse correcte : B
Question 7
On sait que :
\[ \int_0^1 \frac{e^{ax}}{e^{ax}+1}\,dx=\frac1a, \qquad a\neq0. \]On demande la valeur de \(a\).
Lorsqu’une fraction contient \(e^{ax}\) et \(e^{ax}+1\), on cherche souvent une primitive logarithmique : \[ \left(\ln(e^{ax}+1)\right)'=\frac{ae^{ax}}{e^{ax}+1}. \]
On remarque que :
\[ \left(\ln(e^{ax}+1)\right)' = \frac{ae^{ax}}{e^{ax}+1}. \]Donc :
\[ \frac{e^{ax}}{e^{ax}+1} = \frac1a\left(\ln(e^{ax}+1)\right)'. \]Ainsi :
\[ \int_0^1 \frac{e^{ax}}{e^{ax}+1}\,dx = \frac1a\left[\ln(e^{ax}+1)\right]_0^1. \]On remplace les bornes :
\[ = \frac1a\left(\ln(e^a+1)-\ln2\right). \]D’après l’énoncé, cette intégrale vaut \(\frac1a\). Comme \(a\ne0\), on multiplie par \(a\) :
\[ \ln(e^a+1)-\ln2=1. \]Donc :
\[ \ln\left(\frac{e^a+1}{2}\right)=1. \]En passant à l’exponentielle :
\[ \frac{e^a+1}{2}=e. \] Donc : \[ e^a=2e-1. \]Finalement :
\[ a=\ln(2e-1). \]Réponse correcte : D
Question 8
On considère une transformation définie par :
\[ z'=(1+i\sqrt3)z+i. \]Le point \(\Omega\) a pour affixe :
\[ \omega=-\frac{\sqrt3}{3}. \]On demande l’angle \(\left(\overrightarrow{\Omega M};\overrightarrow{\Omega M'}\right)\).
Une transformation de la forme : \[ z'-\omega=\lambda(z-\omega) \] est une similitude de centre \(\Omega\). L’angle est alors : \[ \arg(\lambda). \]
On veut écrire la relation sous la forme :
\[ z'-\omega=\lambda(z-\omega). \]On a :
\[ z'=(1+i\sqrt3)z+i \] et : \[ \omega=-\frac{\sqrt3}{3}. \]Donc :
\[ z'-\omega = (1+i\sqrt3)z+i+\frac{\sqrt3}{3}. \]D’autre part :
\[ (1+i\sqrt3)(z-\omega) = (1+i\sqrt3)z-(1+i\sqrt3)\omega. \]Comme :
\[ \omega=-\frac{\sqrt3}{3}, \] on obtient : \[ -(1+i\sqrt3)\omega = \frac{\sqrt3}{3}(1+i\sqrt3). \]Donc :
\[ \frac{\sqrt3}{3}(1+i\sqrt3) = \frac{\sqrt3}{3}+i. \]Ainsi :
\[ z'-\omega=(1+i\sqrt3)(z-\omega). \]L’angle cherché est donc :
\[ \arg(1+i\sqrt3). \] Or : \[ 1+i\sqrt3=2e^{i\frac{\pi}{3}}. \] Donc : \[ \left(\overrightarrow{\Omega M};\overrightarrow{\Omega M'}\right) = \frac{\pi}{3}. \]Réponse correcte : B
Question 9
Dans un carré \(ABCD\) de côté \(1\), on construit \(E\in[AB]\) et \(F\in[BC]\) tels que \(BE=CF=x\). On cherche la valeur de \(x\) qui minimise l’aire du triangle \(EFD\).
Un problème de minimum géométrique peut souvent être ramené à un trinôme du second degré. Le minimum de \(ax^2+bx+c\), avec \(a\gt0\), est atteint en : \[ x=-\frac{b}{2a}. \]
On place le carré dans un repère :
\[ A(0,0),\quad B(1,0),\quad C(1,1),\quad D(0,1). \]Comme \(BE=x\), le point \(E\) est sur \([AB]\), donc :
\[ E(1-x,0). \]Comme \(CF=x\), le point \(F\) est sur \([BC]\), donc :
\[ F(1,1-x). \]L’aire du triangle \(EFD\) est donnée par :
\[ \mathcal A(x)=\frac12\left|\det(\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DF})\right|. \]On calcule les vecteurs :
\[ \overrightarrow{DE} = (1-x,-1), \qquad \overrightarrow{DF} = (1,-x). \]Donc :
\[ \det(\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DF}) = (1-x)(-x)-(-1)\cdot1. \] Ainsi : \[ \det(\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DF}) = -x+x^2+1 = x^2-x+1. \]Donc :
\[ \mathcal A(x)=\frac12(x^2-x+1). \]Cette expression est minimale lorsque le trinôme \(x^2-x+1\) est minimal.
Comme \(a=1\) et \(b=-1\), le minimum est atteint pour :
\[ x=-\frac{-1}{2\cdot1}=\frac12. \]Réponse correcte : D
Question 10
On sait que :
\[ |z|-z=3-i\sqrt3. \]On demande \(|z|\).
Quand une équation contient \(|z|\), on pose souvent : \[ z=x+iy,\qquad |z|=r. \] Puis on identifie les parties réelle et imaginaire.
Posons :
\[ z=x+iy,\qquad |z|=r. \]Alors :
\[ |z|-z=r-(x+iy)=r-x-iy. \]On sait que :
\[ |z|-z=3-i\sqrt3. \]En identifiant les parties réelle et imaginaire :
\[ r-x=3, \qquad -y=-\sqrt3. \] Donc : \[ y=\sqrt3, \qquad x=r-3. \]Or :
\[ r^2=x^2+y^2. \]On remplace \(x\) et \(y\) :
\[ r^2=(r-3)^2+(\sqrt3)^2. \] Donc : \[ r^2=(r-3)^2+3. \]On développe :
\[ r^2=r^2-6r+9+3. \]On simplifie :
\[ 6r=12. \] Donc : \[ r=2. \]Ainsi :
\[ |z|=2. \]Réponse correcte : B
Question 11
Les points \(A\) et \(B\) ont pour affixes :
\[ z_A=-i, \qquad z_B=i. \]On étudie :
\[ \left|\frac{iz-1}{\overline z+i}\right|=1. \]Une égalité du type : \[ |z-z_A|=|z-z_B| \] signifie que le point \(M(z)\) est équidistant de \(A\) et \(B\). L’ensemble est donc la médiatrice de \([AB]\).
Les affixes sont :
\[ z_A=-i,\qquad z_B=i. \]On transforme d’abord le numérateur :
\[ iz-1=i(z+i). \]Donc :
\[ |iz-1|=|i|\,|z+i|=|z+i|. \]Or :
\[ z+i=z-(-i)=z-z_A. \] Donc : \[ |z+i|=MA. \]Pour le dénominateur :
\[ \overline z+i=\overline{z-i}. \] Donc : \[ |\overline z+i|=|\overline{z-i}|=|z-i|. \] Or : \[ z-i=z-z_B. \] Donc : \[ |z-i|=MB. \]L’équation donnée devient donc :
\[ MA=MB. \]L’ensemble des points \(M\) est alors la médiatrice du segment \([AB]\).
Réponse correcte : A
Question 12
On sait que :
\[ \lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{x}{7n}\right)^{29n} = 2022. \]On demande la valeur de \(x\).
On utilise la limite classique : \[ \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{u}{n}\right)^n=e^u. \] Il faut identifier correctement le nombre \(u\).
On considère :
\[ \left(1+\frac{x}{7n}\right)^{29n}. \]On peut écrire :
\[ \frac{x}{7n}=\frac{x/7}{n}. \] Donc : \[ \left(1+\frac{x}{7n}\right)^n\to e^{x/7}. \]Comme l’exposant est \(29n\), on obtient :
\[ \left(1+\frac{x}{7n}\right)^{29n} = \left[\left(1+\frac{x}{7n}\right)^n\right]^{29}. \]Donc :
\[ \lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{x}{7n}\right)^{29n} = \left(e^{x/7}\right)^{29} = e^{\frac{29x}{7}}. \]On sait que cette limite vaut \(2022\), donc :
\[ e^{\frac{29x}{7}}=2022. \]En appliquant le logarithme :
\[ \frac{29x}{7}=\ln2022. \] Donc : \[ x=\frac7{29}\ln2022. \]Réponse correcte : D
Question 13
Le plan est :
\[ (P):3x-2z+3=0. \]Le point est :
\[ A(a^2,2a,6a-3). \]On choisit \(a\) en lançant un dé équilibré. On demande la probabilité que \(A\in(P)\).
Pour vérifier qu’un point appartient à un plan, on remplace ses coordonnées dans l’équation du plan.
Le plan est :
\[ (P):3x-2z+3=0. \]Le point est :
\[ A(a^2,2a,6a-3). \]Pour que \(A\in(P)\), on remplace :
\[ x=a^2, \qquad z=6a-3. \]Donc :
\[ 3a^2-2(6a-3)+3=0. \]On développe :
\[ 3a^2-12a+6+3=0. \] Donc : \[ 3a^2-12a+9=0. \]On factorise par \(3\) :
\[ 3(a^2-4a+3)=0. \] Puis : \[ a^2-4a+3=(a-1)(a-3). \]Donc :
\[ a=1 \quad\text{ou}\quad a=3. \]Le dé équilibré donne \(6\) valeurs possibles : \(1,2,3,4,5,6\). Les valeurs favorables sont \(1\) et \(3\), donc :
\[ P=\frac26=\frac13. \]Réponse correcte : B
Question 14
On cherche une primitive \(F\) de :
\[ f(x)=2e^{3x}-6. \]La courbe de \(F\) coupe l’axe des ordonnées en \(3\).
Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors : \[ F'(x)=f(x). \] Une condition du type « la courbe coupe l’axe des ordonnées en \(3\) » signifie : \[ F(0)=3. \]
On cherche une primitive de :
\[ f(x)=2e^{3x}-6. \]Une primitive de \(e^{3x}\) est :
\[ \frac13 e^{3x}. \] Donc une primitive de \(2e^{3x}\) est : \[ \frac23 e^{3x}. \]Une primitive de \(-6\) est :
\[ -6x. \]Ainsi :
\[ F(x)=\frac23 e^{3x}-6x+C. \]La courbe de \(F\) coupe l’axe des ordonnées en \(3\), donc :
\[ F(0)=3. \]Or :
\[ F(0)=\frac23 e^0-6\cdot0+C=\frac23+C. \] Donc : \[ \frac23+C=3. \]Alors :
\[ C=3-\frac23=\frac73. \]Finalement :
\[ F(x)=\frac23 e^{3x}-6x+\frac73. \]Réponse correcte : B
Question 15
On demande de calculer :
\[ \int_0^3 \frac{x^2+2}{\sqrt{x^3+6x+4}}\,dx. \]Quand le numérateur est proportionnel à la dérivée de l’expression sous la racine, on fait un changement de variable.
On pose :
\[ u=x^3+6x+4. \]Alors :
\[ u'=3x^2+6=3(x^2+2). \] Donc : \[ (x^2+2)\,dx=\frac13\,du. \]On transforme les bornes :
\[ x=0\Rightarrow u=4, \] et : \[ x=3\Rightarrow u=27+18+4=49. \]Donc :
\[ \int_0^3 \frac{x^2+2}{\sqrt{x^3+6x+4}}\,dx = \frac13\int_4^{49}\frac{du}{\sqrt u}. \]Or :
\[ \frac1{\sqrt u}=u^{-1/2}. \] Donc : \[ \int u^{-1/2}\,du=2\sqrt u. \]Ainsi :
\[ \frac13\int_4^{49}u^{-1/2}\,du = \frac13[2\sqrt u]_4^{49}. \]On calcule :
\[ \frac23(\sqrt{49}-\sqrt4) = \frac23(7-2) = \frac{10}{3}. \]Réponse correcte : C
Question 16
On sait que :
\[ v_1+v_2+\cdots+v_n=2n^2+n. \]On demande \(v_8\).
Si \(S_n=v_1+\cdots+v_n\), alors : \[ v_n=S_n-S_{n-1}. \]
On note :
\[ S_n=v_1+v_2+\cdots+v_n. \]D’après l’énoncé :
\[ S_n=2n^2+n. \]On veut \(v_8\). On utilise :
\[ v_8=S_8-S_7. \]Calculons :
\[ S_8=2\cdot8^2+8=2\cdot64+8=128+8=136. \] Et : \[ S_7=2\cdot7^2+7=2\cdot49+7=98+7=105. \]Donc :
\[ v_8=136-105=31. \]Réponse correcte : A
Question 17
On sait que :
\[ f(2x-1)=x^2+3x. \]On demande \(f(1)+f'(1)\).
Lorsqu’une fonction est donnée sous la forme \(f(2x-1)\), pour obtenir \(f(1)\), on impose : \[ 2x-1=1. \] Pour obtenir \(f'(1)\), on dérive la relation donnée.
On sait que :
\[ f(2x-1)=x^2+3x. \]Pour calculer \(f(1)\), on cherche \(x\) tel que :
\[ 2x-1=1. \] Donc : \[ x=1. \]Ainsi :
\[ f(1)=1^2+3\cdot1=4. \]Pour calculer \(f'(1)\), on dérive la relation par rapport à \(x\). À gauche, on utilise la dérivée d’une fonction composée :
\[ \left(f(2x-1)\right)'=2f'(2x-1). \]À droite :
\[ (x^2+3x)'=2x+3. \] Donc : \[ 2f'(2x-1)=2x+3. \]On prend encore \(x=1\) :
\[ 2f'(1)=5. \] Donc : \[ f'(1)=\frac52. \]Finalement :
\[ f(1)+f'(1)=4+\frac52=\frac{13}{2}. \]Réponse correcte : D
Question 18
On considère :
\[ I_n=\int_1^e x(\ln x)^n\,dx. \]On demande la valeur de :
\[ 2I_{n+1}+(n+1)I_n. \]Une combinaison d’intégrales peut parfois être reconnue comme l’intégrale d’une dérivée. Ici, on reconnaît la dérivée de : \[ x^2(\ln x)^{n+1}. \]
On écrit :
\[ I_n=\int_1^e x(\ln x)^n\,dx. \]Donc :
\[ 2I_{n+1}+(n+1)I_n = \int_1^e 2x(\ln x)^{n+1}\,dx + \int_1^e (n+1)x(\ln x)^n\,dx. \]On regroupe :
\[ 2I_{n+1}+(n+1)I_n = \int_1^e \left[ 2x(\ln x)^{n+1} +(n+1)x(\ln x)^n \right]dx. \]Or :
\[ \left(x^2(\ln x)^{n+1}\right)' = 2x(\ln x)^{n+1} + x^2(n+1)(\ln x)^n\cdot\frac1x. \] Donc : \[ \left(x^2(\ln x)^{n+1}\right)' = 2x(\ln x)^{n+1} +(n+1)x(\ln x)^n. \]Ainsi :
\[ 2I_{n+1}+(n+1)I_n = \left[x^2(\ln x)^{n+1}\right]_1^e. \]Aux bornes :
\[ e^2(\ln e)^{n+1}=e^2, \] et : \[ 1^2(\ln1)^{n+1}=0. \]Donc :
\[ 2I_{n+1}+(n+1)I_n=e^2. \]Réponse correcte : B
Question 19
On considère :
\[ f(x)=1+x+x^2+\cdots+x^n. \]On demande l’équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(1\).
L’équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(a\) est : \[ y=f'(a)(x-a)+f(a). \] Ici \(a=1\).
On a :
\[ f(x)=1+x+x^2+\cdots+x^n. \]Au point \(x=1\) :
\[ f(1)=1+1+\cdots+1=n+1. \]On dérive :
\[ f'(x)=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}. \]Donc :
\[ f'(1)=1+2+3+\cdots+n. \]On utilise la somme classique :
\[ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2. \] Donc : \[ f'(1)=\frac{n(n+1)}2. \]L’équation de la tangente en \(1\) est :
\[ y=f'(1)(x-1)+f(1). \]On remplace :
\[ y=\frac{n(n+1)}2(x-1)+(n+1). \]On développe :
\[ y=\frac{n(n+1)}2x-\frac{n(n+1)}2+(n+1). \]On factorise le terme constant :
\[ -\frac{n(n+1)}2+(n+1) = (n+1)\left(1-\frac n2\right) = -\frac{(n-2)(n+1)}2. \]Donc :
\[ y=\frac{n(n+1)}2x-\frac{(n-2)(n+1)}2. \]Réponse correcte : A
Question 20
On considère une suite définie par :
\[ u_{n+1} = \frac{\sqrt{u_n}}{\sqrt{u_n}+\sqrt{1-u_n}}, \qquad u_0\in]0,1[. \]On demande sa limite.
Pour une suite définie avec \(u_n\) et \(1-u_n\), on peut poser : \[ r_n=\frac{u_n}{1-u_n}. \] Ce changement transforme ici la relation en une relation beaucoup plus simple.
On a :
\[ u_{n+1} = \frac{\sqrt{u_n}}{\sqrt{u_n}+\sqrt{1-u_n}}. \]Comme \(u_0\in]0,1[\), les termes restent dans \(]0,1[\). On peut donc poser :
\[ r_n=\frac{u_n}{1-u_n}. \]Calculons \(1-u_{n+1}\) :
\[ 1-u_{n+1} = 1-\frac{\sqrt{u_n}}{\sqrt{u_n}+\sqrt{1-u_n}}. \] Donc : \[ 1-u_{n+1} = \frac{\sqrt{1-u_n}}{\sqrt{u_n}+\sqrt{1-u_n}}. \]Alors :
\[ \frac{u_{n+1}}{1-u_{n+1}} = \frac{ \frac{\sqrt{u_n}}{\sqrt{u_n}+\sqrt{1-u_n}} }{ \frac{\sqrt{1-u_n}}{\sqrt{u_n}+\sqrt{1-u_n}} }. \]Les dénominateurs se simplifient :
\[ \frac{u_{n+1}}{1-u_{n+1}} = \frac{\sqrt{u_n}}{\sqrt{1-u_n}} = \sqrt{\frac{u_n}{1-u_n}}. \]Donc :
\[ r_{n+1}=\sqrt{r_n}. \]Comme \(r_0\gt0\), on peut écrire :
\[ r_n=(r_0)^{1/2^n}. \]Or :
\[ \frac1{2^n}\to0. \] Donc : \[ r_n\to (r_0)^0=1. \]Ainsi :
\[ \frac{u_n}{1-u_n}\to1. \]Si \(u_n\to\ell\), alors :
\[ \frac{\ell}{1-\ell}=1. \] Donc : \[ \ell=1-\ell, \qquad 2\ell=1, \qquad \ell=\frac12. \]La limite est donc :
\[ \frac12. \]Cette valeur n’apparaît pas parmi les propositions A, B, C et D.
Réponse correcte : E — Autre réponse
Conseil aux élèves
Les questions de concours demandent surtout de reconnaître les formes classiques : équation dans \(\mathbb C\), équation différentielle linéaire, forme exponentielle, rationalisation, plan médiateur, primitive logarithmique, transformation géométrique, minimum d’un trinôme, suite définie par somme partielle, dérivée d’une relation composée, intégrale avec dérivée cachée et suite récurrente transformée.
Commentaires
Enregistrer un commentaire