Concours ENSA Maroc 2023 — Énoncé de mathématiques
Concours d’accès en 1ère année des ENSA Maroc — Session juillet 2023 — Épreuve de mathématiques.
Cette page propose l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Maroc 2023. L’épreuve comporte 20 questions sous forme de QCM.
Consignes
- L’épreuve comporte 20 questions.
- Chaque question propose quatre réponses : A, B, C et D.
- Une seule réponse est juste.
Énoncé — Mathématiques
Question 1
Voici une suite logique de nombres :
\[ 6;\ 4;\ 8;\ 5;\ 15;\ldots \]Le nombre suivant est :
Question 2
Soit \(x\) un nombre de \(6\) chiffres divisible par \(9\), et \(y\) le nombre obtenu en déplaçant à la fin le premier chiffre de \(x\). Le reste de la division de \(y\) par \(9\) est égal à :
Question 3
Le nombre de couples d’entiers premiers entre eux dont le produit vaut \(150\) est égal à :
Question 4
L’équation à variables réelles :
\[ 9x^5-12x^4+6x-5=0 \]:
Question 5
Soit la suite \((u_n)\) définie par :
\[ u_n=\sqrt n-[\sqrt n],\qquad n\in\mathbb N. \]\([x]\) désigne la partie entière de \(x\). Alors :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_{n^2+2n}= \]Question 6
Calculer :
\[ \lim_{x\to+\infty} e^x\sin(e^{-x}). \]Question 7
Calculer :
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\cos(x^2+x-1)}{x}. \]Question 8
Soit \(f\) une fonction continue de \(\mathbb R\) à valeurs dans \(\mathbb Z\). Alors :
Question 9
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\mathbb R\) telle que :
\[ \forall (x,y)\in\mathbb R^2,\quad f(x+y)\bigl(1-f(x)f(y)\bigr)=f(x)+f(y). \]Alors :
\[ \forall x\in\mathbb R,\quad \frac{f'(x)}{1+f(x)^2}= \]Question 10
Pour tout réel \(\alpha\gt0\), calculer :
\[ \int_{\frac1\alpha}^{\alpha}\frac{\ln x}{1+x^2}\,dx. \]Question 11
On considère les deux intégrales suivantes :
\[ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin^2(x)\,dx \]et :
\[ J=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos^2(x)\,dx. \]La valeur de \(I\) vaut :
Question 12
Calculer :
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos x)^{1445}\sin x\,dx. \]Question 13
Soient \(z_1\) et \(z_2\) les solutions complexes de l’équation :
\[ z^2-4iz-4(1+i)=0. \]Alors :
\[ \operatorname{Im}(z_1)+\operatorname{Im}(z_2)= \]Question 14
Le nombre complexe :
\[ (1+i)^{2000} \]est égal à :
Question 15
Le nombre complexe :
\[ \left(\frac{7-15i}{15+7i}\right)^{2023} \]est égal à :
Question 16
La somme :
\[ \left(1+e^{\frac{i2\pi}{5}}+e^{\frac{i4\pi}{5}}+e^{\frac{i6\pi}{5}}+e^{\frac{i8\pi}{5}}\right)^{100} \]est égale à :
Question 17
La solution \(f(x)\) de l’équation différentielle :
\[ y''-7y'+12y=0 \]vérifiant :
\[ f(0)=0,\qquad f'(0)=1 \]est :
Question 18
Soient \(d_A\) la distance du point \(A(1,0,2)\) au plan :
\[ (P):2x+y+z+4=0 \]et \(d_B\) la distance du point \(B(3,2,1)\) au plan :
\[ (Q):-x+5y-4z=5. \]Alors le produit des distances \(d_A d_B\) est :
Question 19
L’aire sous la cloche d’équation :
\[ y=\frac1{1+x^2} \]et au-dessus de la parabole d’équation :
\[ y=\frac{x^2}{2} \]est :
Question 20
On considère le cercle \((C)\) d’équation :
\[ x^2+y^2+x-3y-3=0 \]et \((D)\) la droite passant par le point \(A\) de coordonnées \((1,-2)\) et tangente à \((C)\) au point \(M\).
La longueur du segment \([AM]\) est égale à :
Conseil de travail
Avant de consulter la correction, il est conseillé de traiter l’énoncé seul, en temps limité, puis de comparer sa méthode avec la correction détaillée.
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