Concours ENSA Maroc 2023 — Énoncé de mathématiques

Concours d’accès en 1^ère année des ENSA Maroc — Session juillet 2023 — Épreuve de mathématiques.

Cette page propose l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Maroc 2023. L’épreuve comporte 20 questions sous forme de QCM.

Voir la correction ENSA Maroc 2023 Guide Concours ENSA Maroc

Remarque pédagogique : cet énoncé est transcrit à partir d’une version scannée du concours ENSA Maroc 2023. Les formules et les choix ont été conservés selon la version consultée.

Consignes

L’épreuve comporte 20 questions.
Chaque question propose quatre réponses : A, B, C et D.
Une seule réponse est juste.

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Voici une suite logique de nombres :

\[ 6;\ 4;\ 8;\ 5;\ 15;\ldots \]

Le nombre suivant est :

A) \(17\)
B) \(20\)
C) \(11\)
D) \(40\)

Question 2

Soit \(x\) un nombre de \(6\) chiffres divisible par \(9\), et \(y\) le nombre obtenu en déplaçant à la fin le premier chiffre de \(x\). Le reste de la division de \(y\) par \(9\) est égal à :

A) \(0\)
B) \(1\)
C) \(2\)
D) \(3\)

Question 3

Le nombre de couples d’entiers premiers entre eux dont le produit vaut \(150\) est égal à :

A) \(4\)
B) \(6\)
C) \(8\)
D) \(10\)

Question 4

L’équation à variables réelles :

\[ 9x^5-12x^4+6x-5=0 \]

A) admet une seule solution entière
B) admet trois solutions entières
C) admet cinq solutions entières
D) n’admet pas de solution entière

Question 5

Soit la suite \((u_n)\) définie par :

\[ u_n=\sqrt n-[\sqrt n],\qquad n\in\mathbb N. \]

\([x]\) désigne la partie entière de \(x\). Alors :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_{n^2+2n}= \]

A) \(0\)
B) \(1\)
C) \(2\)
D) \(3\)

Question 6

Calculer :

\[ \lim_{x\to+\infty} e^x\sin(e^{-x}). \]

A) \(0\)
B) \(1\)
C) \(-1\)
D) n’a pas de limite

Question 7

Calculer :

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\cos(x^2+x-1)}{x}. \]

A) \(0\)
B) \(1\)
C) \(-1\)
D) n’a pas de limite

Question 8

Soit \(f\) une fonction continue de \(\mathbb R\) à valeurs dans \(\mathbb Z\). Alors :

A) \(f\) n’est pas constante
B) \(f\) est une constante
C) \(f\) est strictement croissante
D) \(f\) est strictement décroissante

Question 9

Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\mathbb R\) telle que :

\[ \forall (x,y)\in\mathbb R^2,\quad f(x+y)\bigl(1-f(x)f(y)\bigr)=f(x)+f(y). \]

Alors :

\[ \forall x\in\mathbb R,\quad \frac{f'(x)}{1+f(x)^2}= \]

A) \(f'(0)\)
B) \(f'(0)-1\)
C) \(f'(0)+\frac12\)
D) \(f'(0)-\frac12\)

Question 10

Pour tout réel \(\alpha\gt0\), calculer :

\[ \int_{\frac1\alpha}^{\alpha}\frac{\ln x}{1+x^2}\,dx. \]

A) \(\ln\alpha\)
B) \(2\ln\alpha\)
C) \(0\)
D) \(\alpha^{\frac{\pi}{2}}\)

Question 11

On considère les deux intégrales suivantes :

\[ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin^2(x)\,dx \]

et :

\[ J=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos^2(x)\,dx. \]

La valeur de \(I\) vaut :

A) \(\frac{\pi^3}{48}\)
B) \(\frac{\pi^3}{24}+\frac{\pi}{4}\)
C) \(-\frac{\pi}{8}\)
D) \(\frac{\pi^3}{48}+\frac{\pi}{8}\)

Question 12

Calculer :

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos x)^{1445}\sin x\,dx. \]

A) \(\frac1{1445}\)
B) \(\frac1{1446}-\frac{\pi}{2}\)
C) \(\frac1{1446}\)
D) \(\frac1{1447}+\frac{\pi}{2}\)

Question 13

Soient \(z_1\) et \(z_2\) les solutions complexes de l’équation :

\[ z^2-4iz-4(1+i)=0. \]

Alors :

\[ \operatorname{Im}(z_1)+\operatorname{Im}(z_2)= \]

A) \(0\)
B) \(4\)
C) \(2\)
D) \(3\)

Question 14

Le nombre complexe :

\[ (1+i)^{2000} \]

est égal à :

A) \(1\)
B) \(4^{100}\)
C) \(4^{500}\)
D) \(4^{200}\)

Question 15

Le nombre complexe :

\[ \left(\frac{7-15i}{15+7i}\right)^{2023} \]

est égal à :

A) \(i\)
B) \(-i\)
C) \(-1\)
D) \(i+1\)

Question 16

La somme :

\[ \left(1+e^{\frac{i2\pi}{5}}+e^{\frac{i4\pi}{5}}+e^{\frac{i6\pi}{5}}+e^{\frac{i8\pi}{5}}\right)^{100} \]

est égale à :

A) \(0\)
B) \(1\)
C) \(i\)
D) \(-i\)

Question 17

La solution \(f(x)\) de l’équation différentielle :

\[ y''-7y'+12y=0 \]

vérifiant :

\[ f(0)=0,\qquad f'(0)=1 \]

est :

A) \(e^{-4x}-e^{3x}\)
B) \(e^{5x}-e^{3x}\)
C) \(e^{4x}-e^{3x}\)
D) \(e^{5x}-e^{4x}\)

Question 18

Soient \(d_A\) la distance du point \(A(1,0,2)\) au plan :

\[ (P):2x+y+z+4=0 \]

et \(d_B\) la distance du point \(B(3,2,1)\) au plan :

\[ (Q):-x+5y-4z=5. \]

Alors le produit des distances \(d_A d_B\) est :

A) \(\frac8{3\sqrt7}\)
B) \(\frac{10}{3\sqrt7}\)
C) \(\frac{11}{3\sqrt7}\)
D) \(\frac{13}{3\sqrt7}\)

Question 19

L’aire sous la cloche d’équation :

\[ y=\frac1{1+x^2} \]

et au-dessus de la parabole d’équation :

\[ y=\frac{x^2}{2} \]

est :

A) \(\frac13\)
B) \(-\frac13+\frac{\pi}{2}\)
C) \(\frac{\pi}{2}\)
D) \(\frac{\pi}{2}+\frac13\)

Question 20

On considère le cercle \((C)\) d’équation :

\[ x^2+y^2+x-3y-3=0 \]

et \((D)\) la droite passant par le point \(A\) de coordonnées \((1,-2)\) et tangente à \((C)\) au point \(M\).

La longueur du segment \([AM]\) est égale à :

A) \(1\)
B) \(2\)
C) \(3\)
D) \(4\)

Conseil de travail

Avant de consulter la correction, il est conseillé de traiter l’énoncé seul, en temps limité, puis de comparer sa méthode avec la correction détaillée.

Important : les modalités, dates, conditions d’accès et consignes officielles peuvent changer d’une année à l’autre. L’élève doit toujours consulter l’annonce officielle de l’année concernée.

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