Correction des exercices 19 et 20
Fonctions exponentielles — Dérivées et primitives
2e Bac Sciences Mathématiques
Cette page propose la correction détaillée des exercices 19 et 20 du chapitre « Fonctions exponentielles » du manuel Al Moufid. Le premier exercice porte sur les domaines de définition, la dérivabilité et le calcul des dérivées. Le second porte sur la détermination de primitives par reconnaissance des formes usuelles.
Exercice 19 Calcul des dérivées
Lire la réponse +Masquer la réponse −
La fonction \(x\mapsto2x-1\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et la fonction exponentielle est dérivable sur \(\mathbb R\). Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\).
Posons \(u(x)=2x-1\). Alors :
\[ u'(x)=2. \]Comme \((e^u)'=u'e^u\), on obtient :
\[ f'(x)=2e^{2x-1}. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
La fonction polynomiale \(u(x)=-3x^2+2x-7\) est dérivable sur \(\mathbb R\). Donc \(f=e^u\) est dérivable sur \(\mathbb R\).
\[ u'(x)=-6x+2=2(1-3x). \]Ainsi :
\[ f'(x)=(-6x+2)e^{-3x^2+2x-7}. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a :
\[ e^x+1\gt 0. \]Le dénominateur ne s’annule donc jamais. Ainsi, \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb R\).
En appliquant la formule de dérivation d’un quotient :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{e^x(e^x+1)-(e^x-1)e^x}{(e^x+1)^2}\\ &= \frac{e^{2x}+e^x-e^{2x}+e^x}{(e^x+1)^2}\\ &= \frac{2e^x}{(e^x+1)^2}. \end{aligned} \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Pour que la racine carrée soit définie, il faut :
\[ 2x-1\ge0. \]Donc :
\[ D_f=\left[\frac12,+\infty\right[. \]Sur \(\left]\frac12,+\infty\right[\), la fonction \(u(x)=\sqrt{2x-1}\) est dérivable et :
\[ u'(x)=\frac1{\sqrt{2x-1}}. \]Par conséquent :
\[ f'(x) = \frac{e^{\sqrt{2x-1}}}{\sqrt{2x-1}} \qquad \text{pour }x\gt \frac12. \]Étudions la dérivabilité à droite en \(x_0=\dfrac12\). On a :
\[ f\left(\frac12\right)=1. \]Pour \(h\gt 0\) :
\[ \frac{ f\left(\frac12+h\right)-f\left(\frac12\right) }{h} = \frac{e^{\sqrt{2h}}-1}{h}. \]On écrit :
\[ \frac{e^{\sqrt{2h}}-1}{h} = \frac{e^{\sqrt{2h}}-1}{\sqrt{2h}} \times \frac{\sqrt{2h}}{h}. \]Or :
\[ \lim_{h\to0^+} \frac{e^{\sqrt{2h}}-1}{\sqrt{2h}} =1 \]et :
\[ \lim_{h\to0^+} \frac{\sqrt{2h}}{h} =+\infty. \]Donc :
\[ \lim_{h\to0^+} \frac{ f\left(\frac12+h\right)-f\left(\frac12\right) }{h} =+\infty. \]La fonction n’est donc pas dérivable à droite au sens usuel en \(\dfrac12\). Sa courbe admet une demi-tangente verticale en ce point.
Lire la réponse +Masquer la réponse −
On factorise le radicand :
\[ e^{2x}-e^x=e^x(e^x-1). \]Comme \(e^x\gt 0\), la condition de définition est :
\[ e^x-1\ge0. \]Donc :
\[ x\ge0. \]Ainsi :
\[ D_f=[0,+\infty[. \]Pour \(x\gt 0\), le radicand est strictement positif. La fonction est alors dérivable et :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{2e^{2x}-e^x}{2\sqrt{e^{2x}-e^x}}\\ &= \frac{e^x(2e^x-1)} {2\sqrt{e^{2x}-e^x}}. \end{aligned} \]Étudions la dérivabilité à droite en \(0\).
\[ f(0)=0. \]Pour \(h\gt 0\) :
\[ \frac{f(h)-f(0)}{h} = \frac{\sqrt{e^{2h}-e^h}}{h}. \]On écrit :
\[ \frac{\sqrt{e^{2h}-e^h}}{h} = \sqrt{ \frac{e^{2h}-e^h}{h} } \times \frac1{\sqrt h}. \]Or :
\[ \frac{e^{2h}-e^h}{h} = e^h\frac{e^h-1}{h} \longrightarrow1. \]Et :
\[ \frac1{\sqrt h}\longrightarrow+\infty. \]Donc le taux d’accroissement tend vers \(+\infty\).
La fonction n’est pas dérivable à droite au sens usuel en \(0\). Sa courbe admet une demi-tangente verticale à l’origine.
Lire la réponse +Masquer la réponse −
Les fonctions \(x\mapsto\cos x\) et \(x\mapsto-\cos x\) sont dérivables sur \(\mathbb R\). Donc \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\).
On a :
\[ (e^{\cos x})' = -\sin x\,e^{\cos x}. \]Et :
\[ (e^{-\cos x})' = \sin x\,e^{-\cos x}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= -\sin x\,e^{\cos x} - \sin x\,e^{-\cos x}\\ &= -\sin x \left(e^{\cos x}+e^{-\cos x}\right). \end{aligned} \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[ 4+e^{5x}\gt 0. \]La fonction est donc définie et dérivable sur \(\mathbb R\).
Posons :
\[ u(x)=4+e^{5x}. \]Alors :
\[ u'(x)=5e^{5x}. \]Comme \((\ln u)'=\dfrac{u'}u\), on obtient :
\[ f'(x)=\frac{5e^{5x}}{4+e^{5x}}. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Les fonctions \(x\mapsto x\), \(x\mapsto\operatorname{Arctan}x\) et la fonction exponentielle sont dérivables sur \(\mathbb R\). Donc \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\).
En appliquant la formule de dérivation d’un produit :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= e^{\operatorname{Arctan}x} + x e^{\operatorname{Arctan}x} \frac1{1+x^2}\\ &= e^{\operatorname{Arctan}x} \left( 1+\frac{x}{1+x^2} \right). \end{aligned} \]Donc :
\[ f'(x) = \frac{x^2+x+1}{x^2+1} e^{\operatorname{Arctan}x}. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Le dénominateur \(x^2-1\) doit être non nul. Donc :
\[ D_f=\mathbb R\setminus\{-1,1\}. \]Sur chacun des intervalles \(]-\infty,-1[\), \(]-1,1[\) et \(]1,+\infty[\), la fonction est dérivable.
Posons :
\[ u(x)=\frac{2x}{x^2-1}. \]Alors :
\[ \begin{aligned} u'(x) &= \frac{2(x^2-1)-2x(2x)}{(x^2-1)^2}\\ &= -\frac{2(x^2+1)}{(x^2-1)^2}. \end{aligned} \]Par dérivation du produit :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= e^{u(x)} + xe^{u(x)}u'(x)\\ &= e^{\frac{2x}{x^2-1}} \left[ 1- \frac{2x(x^2+1)}{(x^2-1)^2} \right]. \end{aligned} \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Pour que le logarithme soit défini, il faut :
\[ \left|e^{2x}-1\right|\gt 0. \]Cela équivaut à :
\[ e^{2x}-1\ne0. \]Donc :
\[ x\ne0. \]Ainsi :
\[ D_f=\mathbb R\setminus\{0\}. \]Sur chacun des intervalles \(]-\infty,0[\) et \(]0,+\infty[\), la fonction est dérivable.
On utilise la propriété :
\[ \left(\ln|u|\right)'=\frac{u'}u \qquad\text{lorsque }u\ne0. \]Avec \(u(x)=e^{2x}-1\), on a :
\[ u'(x)=2e^{2x}. \]Donc :
\[ f'(x)=\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-1}. \]Exercice 20 Détermination des primitives
Lire la réponse +Masquer la réponse −
La fonction est continue sur \(\mathbb R\).
On reconnaît une expression de la forme \(e^{u(x)}\), avec :
\[ u(x)=-2x+5 \qquad\text{et}\qquad u'(x)=-2. \]On cherche donc un coefficient \(a\) tel que :
\[ \left(ae^{-2x+5}\right)'=e^{-2x+5}. \]Or :
\[ \left(-\frac12e^{-2x+5}\right)' = e^{-2x+5}. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Comme \(e^{3x}\gt 0\), on peut écrire :
\[ \sqrt{e^{3x}} = e^{\frac{3x}{2}}. \]Or :
\[ \left( \frac23e^{\frac{3x}{2}} \right)' = \frac23\times\frac32e^{\frac{3x}{2}} = e^{\frac{3x}{2}}. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Posons :
\[ u(x)=x^2+1. \]Alors :
\[ u'(x)=2x. \]On écrit :
\[ xe^{x^2+1} = \frac12u'(x)e^{u(x)}. \]Donc :
\[ \left( \frac12e^{x^2+1} \right)' = xe^{x^2+1}. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[ 2e^{2x}+3\gt 0. \]La fonction est donc continue sur \(\mathbb R\).
Posons :
\[ u(x)=2e^{2x}+3. \]Alors :
\[ u'(x)=4e^{2x}. \]On a :
\[ \left(\sqrt{u(x)}\right)' = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \frac{2e^{2x}}{\sqrt{2e^{2x}+3}}. \]Par conséquent :
\[ \left( \frac12\sqrt{2e^{2x}+3} \right)' = \frac{e^{2x}}{\sqrt{2e^{2x}+3}}. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Posons :
\[ u(x)=-\operatorname{Arctan}x. \]Alors :
\[ u'(x)=-\frac1{1+x^2}. \]On obtient :
\[ f(x)=-u'(x)e^{u(x)}. \]Or :
\[ \left(-e^{u(x)}\right)' = -u'(x)e^{u(x)}. \]Donc :
\[ \left(-e^{-\operatorname{Arctan}x}\right)' = \frac{e^{-\operatorname{Arctan}x}}{1+x^2}. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[ e^x+1\gt 0. \]Posons :
\[ u(x)=e^x+1. \]Alors :
\[ u'(x)=e^x. \]On reconnaît la forme \(\dfrac{u'}u\). Donc :
\[ \left(\ln(e^x+1)\right)' = \frac{e^x}{e^x+1}. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Posons :
\[ u(x)=\sin x. \]Alors :
\[ u'(x)=\cos x. \]On reconnaît la forme \(u'e^u\). Ainsi :
\[ \left(e^{\sin x}\right)' = \cos x\,e^{\sin x}. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a :
\[ e^{4x}+4e^x+3\gt 0. \]Posons :
\[ u(x)=e^{4x}+4e^x+3. \]Alors :
\[ u'(x)=4e^{4x}+4e^x = 4\left(e^{4x}+e^x\right). \]Donc :
\[ f(x)=\frac14\frac{u'(x)}{u(x)}. \]Par conséquent :
\[ \left[ \frac14 \ln\left(e^{4x}+4e^x+3\right) \right]' = f(x). \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
La fonction tangente est définie sur tout intervalle :
\[ I_k= \left] -\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi \right[ \qquad(k\in\mathbb Z). \]Sur un tel intervalle, posons :
\[ u(x)=-\tan x. \]Alors :
\[ u'(x)=-(1+\tan^2x). \]On a donc :
\[ f(x)=-u'(x)e^{u(x)}. \]Par conséquent :
\[ \left(-e^{-\tan x}\right)' = (1+\tan^2x)e^{-\tan x}. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
On rappelle que :
\[ (2^x)'=(\ln2)2^x. \]Comme \(\ln2\ne0\), on obtient :
\[ \left( \frac{2^x}{\ln2} \right)' = 2^x. \]Méthodes à retenir
- Le domaine de définition doit être déterminé avant le calcul de la dérivée.
- Une fonction peut être dérivable sur l’intérieur de son domaine sans être dérivable à une borne de ce domaine.
- Pour \(u\ne0\), on a \(\left(\ln|u|\right)'=\dfrac{u'}u\).
- Pour déterminer une primitive, on cherche à faire apparaître la dérivée de l’expression intérieure.
- Une primitive de \(a^x\), avec \(a\gt 0\) et \(a\ne1\), est \(\dfrac{a^x}{\ln a}\).
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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