Correction des exercices 19 et 20 — Fonctions exponentielles
Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques
Étude de la dérivabilité et calcul des dérivées ; recherche de primitives
Introduction
La fonction exponentielle intervient dans des fonctions composées, des produits, des quotients ou des expressions comportant des racines carrées et des logarithmes. Pour les dériver correctement, il faut d’abord identifier leur domaine de définition, puis vérifier les conditions d’application des formules du cours. La dérivabilité peut aussi demander une étude particulière à l’extrémité d’un intervalle de définition.
Les dix premières questions portent sur l’étude de la dérivabilité et le calcul de la dérivée. Les dix questions suivantes consistent à déterminer une primitive de fonctions données sur un intervalle convenable. La démarche reste la même : reconnaître une forme usuelle, en contrôler les conditions et vérifier le résultat par dérivation. Les corrections détaillées sont disponibles immédiatement après chaque question.
Repère de cours — Dérivées
Si \(u\) est dérivable sur un intervalle, alors \(x\mapsto e^{u(x)}\) est dérivable sur ce même intervalle et :
\[ (e^u)'=u'e^u. \]Pour les fonctions comportant une racine carrée ou un logarithme, il faut également contrôler les conditions de définition et de dérivabilité :
\[ (\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\quad(u>0), \qquad (\ln|u|)'=\frac{u'}{u}\quad(u\ne0). \]Ces formules seront utilisées avec les règles de dérivation d’un produit et d’un quotient. Les points frontières du domaine nécessitent parfois un taux d’accroissement.
Exercice 19 — Calcul des dérivées
Énoncé. Étudier la dérivabilité de la fonction \(f\), puis calculer sa dérivée dans chacun des dix cas suivants.
Question 1. Dériver \(f(x)=e^{2x-1}\)
\[ f(x)=e^{2x-1}. \]Afficher la correction
Analyse et méthode. Il faut d'abord identifier la fonction composée : l'exponentielle est appliquée à une fonction affine. Les deux fonctions étant dérivables sur tout \(\mathbb R\), la règle de dérivation d'une composée s'applique sans restriction.
La fonction \(x\mapsto2x-1\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et la fonction exponentielle est dérivable sur \(\mathbb R\). Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\).
Posons \(u(x)=2x-1\). Alors :
\[ u'(x)=2. \]Comme \((e^u)'=u'e^u\), on obtient :
\[ f'(x)=2e^{2x-1}. \]À retenir. La fonction est donc dérivable sur tout \(\mathbb R\). Le facteur \(2\) de la dérivée provient uniquement de l'exposant affine.
Question 2. Dériver \(f(x)=e^{-3x^2+2x-7}\)
\[ f(x)=e^{-3x^2+2x-7}. \]Afficher la correction
Analyse et méthode. La fonction placée dans l'exposant est un polynôme, donc elle est dérivable partout. Avant de dériver l'exponentielle, on calcule soigneusement la dérivée de cet exposant, notamment le coefficient de \(x^2\).
La fonction polynomiale \(u(x)=-3x^2+2x-7\) est dérivable sur \(\mathbb R\). Donc \(f=e^u\) est dérivable sur \(\mathbb R\).
\[ u'(x)=-6x+2=2(1-3x). \]Ainsi :
\[ f'(x)=(-6x+2)e^{-3x^2+2x-7}. \]À retenir. Le facteur polynômial qui multiplie l'exponentielle est la dérivée de l'exposant ; il ne faut pas dériver une deuxième fois l'exponentielle.
Question 3. Dériver \(\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\)
\[ f(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}. \]Afficher la correction
Analyse et méthode. La présence d'un quotient impose deux contrôles successifs : vérifier que le dénominateur ne s'annule jamais, puis appliquer la règle de dérivation d'un quotient. La positivité stricte de \(e^x\) permet de régler immédiatement la question du domaine.
Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a :
\[ e^x+1\gt 0. \]Le dénominateur ne s’annule donc jamais. Ainsi, \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb R\).
En appliquant la formule de dérivation d’un quotient :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{e^x(e^x+1)-(e^x-1)e^x}{(e^x+1)^2}\\ &= \frac{e^{2x}+e^x-e^{2x}+e^x}{(e^x+1)^2}\\ &= \frac{2e^x}{(e^x+1)^2}. \end{aligned} \]À retenir. Comme \(e^x+1\) est toujours strictement positif, aucune valeur réelle n'est exclue du domaine de dérivabilité.
Question 4. Étudier \(f(x)=e^{\sqrt{2x-1}}\)
\[ f(x)=e^{\sqrt{2x-1}}. \]Afficher la correction
Analyse et méthode. La racine carrée impose ici une condition de définition. Cette condition ne suffit pas à garantir la dérivabilité au point frontière : il faut distinguer l'intervalle ouvert, où la formule de dérivation s'applique, et l'extrémité \(\frac12\), où l'on examine un taux d'accroissement à droite.
Pour que la racine carrée soit définie, il faut :
\[ 2x-1\ge0. \]Donc :
\[ D_f=\left[\frac12,+\infty\right[. \]Sur \(\left]\frac12,+\infty\right[\), la fonction \(u(x)=\sqrt{2x-1}\) est dérivable et :
\[ u'(x)=\frac1{\sqrt{2x-1}}. \]Par conséquent :
\[ f'(x) = \frac{e^{\sqrt{2x-1}}}{\sqrt{2x-1}} \qquad \text{pour }x\gt \frac12. \]Étudions la dérivabilité à droite en \(x_0=\dfrac12\). On a :
\[ f\left(\frac12\right)=1. \]Pour \(h\gt 0\) :
\[ \frac{ f\left(\frac12+h\right)-f\left(\frac12\right) }{h} = \frac{e^{\sqrt{2h}}-1}{h}. \]On écrit :
\[ \frac{e^{\sqrt{2h}}-1}{h} = \frac{e^{\sqrt{2h}}-1}{\sqrt{2h}} \times \frac{\sqrt{2h}}{h}. \]Or :
\[ \lim_{h\to0^+} \frac{e^{\sqrt{2h}}-1}{\sqrt{2h}} =1 \]et :
\[ \lim_{h\to0^+} \frac{\sqrt{2h}}{h} =+\infty. \]Donc :
\[ \lim_{h\to0^+} \frac{ f\left(\frac12+h\right)-f\left(\frac12\right) }{h} =+\infty. \]La fonction n’est donc pas dérivable à droite au sens usuel en \(\dfrac12\). Sa courbe admet une demi-tangente verticale en ce point.
À retenir. La formule obtenue est valable seulement pour \(x>\frac12\). La limite infinie du taux d'accroissement interdit une dérivée finie au point frontière.
Question 5. Étudier \(f(x)=\sqrt{e^{2x}-e^x}\)
\[ f(x)=\sqrt{e^{2x}-e^x}. \]Afficher la correction
Analyse et méthode. Cette question associe une exponentielle et une racine carrée. La première étape est de factoriser l'expression sous la racine pour en déterminer le signe ; la seconde consiste à distinguer la dérivabilité pour \(x>0\) et à l'origine.
On factorise le radicand :
\[ e^{2x}-e^x=e^x(e^x-1). \]Comme \(e^x\gt 0\), la condition de définition est :
\[ e^x-1\ge0. \]Donc :
\[ x\ge0. \]Ainsi :
\[ D_f=[0,+\infty[. \]Pour \(x\gt 0\), le radicand est strictement positif. La fonction est alors dérivable et :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{2e^{2x}-e^x}{2\sqrt{e^{2x}-e^x}}\\ &= \frac{e^x(2e^x-1)} {2\sqrt{e^{2x}-e^x}}. \end{aligned} \]Étudions la dérivabilité à droite en \(0\).
\[ f(0)=0. \]Pour \(h\gt 0\) :
\[ \frac{f(h)-f(0)}{h} = \frac{\sqrt{e^{2h}-e^h}}{h}. \]On écrit :
\[ \frac{\sqrt{e^{2h}-e^h}}{h} = \sqrt{ \frac{e^{2h}-e^h}{h} } \times \frac1{\sqrt h}. \]Or :
\[ \frac{e^{2h}-e^h}{h} = e^h\frac{e^h-1}{h} \longrightarrow1. \]Et :
\[ \frac1{\sqrt h}\longrightarrow+\infty. \]Donc le taux d’accroissement tend vers \(+\infty\).
La fonction n’est pas dérivable à droite au sens usuel en \(0\). Sa courbe admet une demi-tangente verticale à l’origine.
À retenir. Le point \(x=0\) appartient au domaine de définition, mais pas au domaine de dérivabilité usuelle : ce sont deux questions distinctes.
Question 6. Dériver \(e^{\cos x}-e^{-\cos x}\)
\[ f(x)=e^{\cos x}-e^{-\cos x}. \]Afficher la correction
Analyse et méthode. On reconnaît une différence de deux fonctions composées. Il faut dériver séparément les deux exponentielles et tenir compte du signe négatif qui apparaît lorsqu'on dérive \(\cos x\).
Les fonctions \(x\mapsto\cos x\) et \(x\mapsto-\cos x\) sont dérivables sur \(\mathbb R\). Donc \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\).
On a :
\[ (e^{\cos x})' = -\sin x\,e^{\cos x}. \]Et :
\[ (e^{-\cos x})' = \sin x\,e^{-\cos x}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= -\sin x\,e^{\cos x} - \sin x\,e^{-\cos x}\\ &= -\sin x \left(e^{\cos x}+e^{-\cos x}\right). \end{aligned} \]À retenir. Le signe de la dérivée dépend de celui de \(-\sin x\), car la somme des deux exponentielles est strictement positive.
Question 7. Dériver \(\ln(4+e^{5x})\)
\[ f(x)=\ln\left(4+e^{5x}\right). \]Afficher la correction
Analyse et méthode. Avant d'utiliser la formule de la dérivée du logarithme, vérifions que son argument est strictement positif. Une fois cette condition établie sur \(\mathbb R\), il suffit de dériver la fonction située à l'intérieur du logarithme.
Pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[ 4+e^{5x}\gt 0. \]La fonction est donc définie et dérivable sur \(\mathbb R\).
Posons :
\[ u(x)=4+e^{5x}. \]Alors :
\[ u'(x)=5e^{5x}. \]Comme \((\ln u)'=\dfrac{u'}u\), on obtient :
\[ f'(x)=\frac{5e^{5x}}{4+e^{5x}}. \]À retenir. Le logarithme et sa dérivée sont bien définis pour tout réel, puisque \(4+e^{5x}>0\).
Question 8. Dériver \(xe^{\operatorname{Arctan}x}\)
\[ f(x)=xe^{\operatorname{Arctan}x}. \]Afficher la correction
Analyse et méthode. La fonction est un produit de \(x\) par une exponentielle composée. Il faut donc utiliser la règle du produit et la dérivée de la fonction \(\operatorname{Arctan}\), sans oublier le facteur issu de la dérivation de l'exposant.
Les fonctions \(x\mapsto x\), \(x\mapsto\operatorname{Arctan}x\) et la fonction exponentielle sont dérivables sur \(\mathbb R\). Donc \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\).
En appliquant la formule de dérivation d’un produit :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= e^{\operatorname{Arctan}x} + x e^{\operatorname{Arctan}x} \frac1{1+x^2}\\ &= e^{\operatorname{Arctan}x} \left( 1+\frac{x}{1+x^2} \right). \end{aligned} \]Donc :
\[ f'(x) = \frac{x^2+x+1}{x^2+1} e^{\operatorname{Arctan}x}. \]À retenir. On peut conserver la forme factorisée pour lire clairement la contribution de la règle du produit et celle de la fonction composée.
Question 9. Dériver \(xe^{\frac{2x}{x^2-1}}\)
\[ f(x)=xe^{\frac{2x}{x^2-1}}. \]Afficher la correction
Analyse et méthode. La difficulté essentielle vient des restrictions sur le dénominateur de l'exposant. Après avoir défini correctement le domaine, on associe la règle de dérivation du quotient dans l'exposant et celle du produit pour la fonction entière.
Le dénominateur \(x^2-1\) doit être non nul. Donc :
\[ D_f=\mathbb R\setminus\{-1,1\}. \]Sur chacun des intervalles \(]-\infty,-1[\), \(]-1,1[\) et \(]1,+\infty[\), la fonction est dérivable.
Posons :
\[ u(x)=\frac{2x}{x^2-1}. \]Alors :
\[ \begin{aligned} u'(x) &= \frac{2(x^2-1)-2x(2x)}{(x^2-1)^2}\\ &= -\frac{2(x^2+1)}{(x^2-1)^2}. \end{aligned} \]Par dérivation du produit :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= e^{u(x)} + xe^{u(x)}u'(x)\\ &= e^{\frac{2x}{x^2-1}} \left[ 1- \frac{2x(x^2+1)}{(x^2-1)^2} \right]. \end{aligned} \]À retenir. La formule reste valable sur chacun des trois intervalles du domaine ; elle ne doit jamais être évaluée en \(x=-1\) ou en \(x=1\).
Question 10. Dériver \(\ln|e^{2x}-1|\)
\[ f(x)=\ln\left(\left|e^{2x}-1\right|\right). \]Afficher la correction
Analyse et méthode. Le logarithme d'une valeur absolue n'est pas défini lorsque l'expression intérieure s'annule. Il faut donc exclure d'abord cette valeur et seulement ensuite appliquer la formule \((\ln|u|)'=u'/u\).
Pour que le logarithme soit défini, il faut :
\[ \left|e^{2x}-1\right|\gt 0. \]Cela équivaut à :
\[ e^{2x}-1\ne0. \]Donc :
\[ x\ne0. \]Ainsi :
\[ D_f=\mathbb R\setminus\{0\}. \]Sur chacun des intervalles \(]-\infty,0[\) et \(]0,+\infty[\), la fonction est dérivable.
On utilise la propriété :
\[ \left(\ln|u|\right)'=\frac{u'}u \qquad\text{lorsque }u\ne0. \]Avec \(u(x)=e^{2x}-1\), on a :
\[ u'(x)=2e^{2x}. \]Donc :
\[ f'(x)=\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-1}. \]À retenir. La valeur absolue autorise les deux signes de \(e^{2x}-1\), mais ne permet pas d'inclure \(x=0\), où le logarithme n'existe pas.
Repère de cours — Recherche de primitives
Pour établir que \(F\) est une primitive de \(f\) sur un intervalle \(I\), on vérifie que \(F\) est dérivable sur \(I\) et que \(F'=f\) sur cet intervalle. Les formes ci-dessous permettent de guider la recherche :
\[ (e^u)'=u'e^u,\qquad (\ln u)'=\frac{u'}{u}\quad(u>0),\qquad (\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\quad(u>0). \]Une fois une primitive \(F\) trouvée, les autres primitives sur le même intervalle sont de la forme \(F+C\), avec \(C\in\mathbb R\). Le manuel demande ici une primitive dans chaque cas.
Exercice 20 — Détermination des primitives
Énoncé. Dans chacun des dix cas suivants, déterminer une primitive de la fonction \(f\) sur un intervalle convenable.
Question 1. Primitive de \(e^{-2x+5}\)
\[ f(x)=e^{-2x+5}. \]Afficher la correction
Analyse et méthode. La question demande une primitive, et non la dérivée de \(f\). On cherche à reconnaître la forme \(e^{u(x)}\) : l'exposant est affine, et sa dérivée constante indique le coefficient correct à placer devant l'exponentielle.
La fonction est continue sur \(\mathbb R\).
On reconnaît une expression de la forme \(e^{u(x)}\), avec :
\[ u(x)=-2x+5 \qquad\text{et}\qquad u'(x)=-2. \]On cherche donc un coefficient \(a\) tel que :
\[ \left(ae^{-2x+5}\right)'=e^{-2x+5}. \]Or :
\[ \left(-\frac12e^{-2x+5}\right)' = e^{-2x+5}. \]À retenir. La vérification par dérivation confirme la primitive proposée sur tout \(\mathbb R\). Les autres primitives s'obtiennent en ajoutant une constante.
Question 2. Primitive de \(\sqrt{e^{3x}}\)
\[ f(x)=\sqrt{e^{3x}}. \]Afficher la correction
Analyse et méthode. Le radical peut être réécrit sous la forme d'une exponentielle, puisque l'exponentielle est strictement positive. Cette transformation ramène immédiatement la question à la recherche d'une primitive d'une exponentielle composée.
Comme \(e^{3x}\gt 0\), on peut écrire :
\[ \sqrt{e^{3x}} = e^{\frac{3x}{2}}. \]Or :
\[ \left( \frac23e^{\frac{3x}{2}} \right)' = \frac23\times\frac32e^{\frac{3x}{2}} = e^{\frac{3x}{2}}. \]À retenir. La réécriture de la racine ne change pas la fonction ; elle rend simplement la primitive immédiatement reconnaissable.
Question 3. Primitive de \(xe^{x^2+1}\)
\[ f(x)=xe^{x^2+1}. \]Afficher la correction
Analyse et méthode. Lorsque l'exponentielle contient \(x^2+1\), il est utile de comparer le facteur situé devant l'exponentielle avec la dérivée de l'exposant. Cette comparaison révèle ici un simple facteur constant à ajuster.
Posons :
\[ u(x)=x^2+1. \]Alors :
\[ u'(x)=2x. \]On écrit :
\[ xe^{x^2+1} = \frac12u'(x)e^{u(x)}. \]Donc :
\[ \left( \frac12e^{x^2+1} \right)' = xe^{x^2+1}. \]À retenir. Le coefficient \(\frac12\) compense la dérivée \(2x\) de l'exposant et assure que la dérivée de \(F\) est bien \(f\).
Question 4. Primitive de \(\dfrac{e^{2x}}{\sqrt{2e^{2x}+3}}\)
\[ f(x)=\frac{e^{2x}}{\sqrt{2e^{2x}+3}}. \]Afficher la correction
Analyse et méthode. La présence d'un radical au dénominateur suggère la dérivée d'une racine carrée. Il faut vérifier que l'expression sous la racine reste strictement positive et comparer le numérateur avec la dérivée de cette expression.
Pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[ 2e^{2x}+3\gt 0. \]La fonction est donc continue sur \(\mathbb R\).
Posons :
\[ u(x)=2e^{2x}+3. \]Alors :
\[ u'(x)=4e^{2x}. \]On a :
\[ \left(\sqrt{u(x)}\right)' = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \frac{2e^{2x}}{\sqrt{2e^{2x}+3}}. \]Par conséquent :
\[ \left( \frac12\sqrt{2e^{2x}+3} \right)' = \frac{e^{2x}}{\sqrt{2e^{2x}+3}}. \]À retenir. La positivité de l'expression sous la racine garantit que la formule proposée est valable sur tout \(\mathbb R\).
Question 5. Primitive de \(\dfrac{e^{-\operatorname{Arctan}x}}{1+x^2}\)
\[ f(x)= \frac{e^{-\operatorname{Arctan}x}}{1+x^2}. \]Afficher la correction
Analyse et méthode. On reconnaît une exponentielle dont l'exposant est l'opposé de \(\operatorname{Arctan}x\). La règle de la composée fournit un facteur négatif qu'il faudra compenser pour obtenir une primitive exacte.
Posons :
\[ u(x)=-\operatorname{Arctan}x. \]Alors :
\[ u'(x)=-\frac1{1+x^2}. \]On obtient :
\[ f(x)=-u'(x)e^{u(x)}. \]Or :
\[ \left(-e^{u(x)}\right)' = -u'(x)e^{u(x)}. \]Donc :
\[ \left(-e^{-\operatorname{Arctan}x}\right)' = \frac{e^{-\operatorname{Arctan}x}}{1+x^2}. \]À retenir. Le signe négatif devant l'exponentielle est indispensable : il corrige celui de la dérivée de \(-\operatorname{Arctan}x\).
Question 6. Primitive de \(\dfrac{e^x}{e^x+1}\)
\[ f(x)=\frac{e^x}{e^x+1}. \]Afficher la correction
Analyse et méthode. Un quotient peut être la dérivée d'un logarithme lorsque son numérateur correspond à la dérivée du dénominateur. Il faut également établir que le dénominateur est strictement positif, afin de pouvoir utiliser directement le logarithme.
Pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[ e^x+1\gt 0. \]Posons :
\[ u(x)=e^x+1. \]Alors :
\[ u'(x)=e^x. \]On reconnaît la forme \(\dfrac{u'}u\). Donc :
\[ \left(\ln(e^x+1)\right)' = \frac{e^x}{e^x+1}. \]À retenir. La dérivée du logarithme retrouvé est exactement le quotient initial, sans facteur supplémentaire.
Question 7. Primitive de \(\cos x\,e^{\sin x}\)
\[ f(x)=\cos x\,e^{\sin x}. \]Afficher la correction
Analyse et méthode. Dans un produit comportant \(\cos x\) et \(e^{\sin x}\), l'exponentielle composée est une candidate naturelle : la dérivée de \(\sin x\) est exactement le facteur multiplicatif présent devant l'exponentielle.
Posons :
\[ u(x)=\sin x. \]Alors :
\[ u'(x)=\cos x. \]On reconnaît la forme \(u'e^u\). Ainsi :
\[ \left(e^{\sin x}\right)' = \cos x\,e^{\sin x}. \]À retenir. La règle de dérivation des fonctions composées permet une vérification directe de la primitive.
Question 8. Primitive d’un quotient de la forme \(\dfrac{u'}u\)
\[ f(x)= \frac{e^{4x}+e^x} {e^{4x}+4e^x+3}. \]Afficher la correction
Analyse et méthode. Il faut reconnaître derrière le quotient une expression de la forme \(u'/u\), à un coefficient constant près. Le choix naturel de \(u\) est le dénominateur ; on vérifie ensuite la positivité de \(u\) et le coefficient de proportionnalité.
Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a :
\[ e^{4x}+4e^x+3\gt 0. \]Posons :
\[ u(x)=e^{4x}+4e^x+3. \]Alors :
\[ u'(x)=4e^{4x}+4e^x = 4\left(e^{4x}+e^x\right). \]Donc :
\[ f(x)=\frac14\frac{u'(x)}{u(x)}. \]Par conséquent :
\[ \left[ \frac14 \ln\left(e^{4x}+4e^x+3\right) \right]' = f(x). \]À retenir. Le facteur \(\frac14\) est imposé par le calcul de \(u'\) ; sans lui, la dérivée obtenue serait quatre fois trop grande.
Question 9. Primitive de \((1+\tan^2x)e^{-\tan x}\)
\[ f(x)= \left(1+\tan^2x\right)e^{-\tan x}. \]Afficher la correction
Analyse et méthode. Une primitive n'est demandée que sur un intervalle convenable : la tangente n'étant pas définie partout, cette précision est essentielle. Sur chacun de ses intervalles de définition, on reconnaît la dérivée d'une exponentielle composée.
La fonction tangente est définie sur tout intervalle :
\[ I_k= \left] -\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi \right[ \qquad(k\in\mathbb Z). \]Sur un tel intervalle, posons :
\[ u(x)=-\tan x. \]Alors :
\[ u'(x)=-(1+\tan^2x). \]On a donc :
\[ f(x)=-u'(x)e^{u(x)}. \]Par conséquent :
\[ \left(-e^{-\tan x}\right)' = (1+\tan^2x)e^{-\tan x}. \]À retenir. La même expression définit une primitive sur chaque intervalle \(I_k\), mais la fonction tangente empêche de les réunir en un seul intervalle couvrant \(\mathbb R\).
Question 10. Primitive de \(2^x\)
\[ f(x)=2^x. \]Afficher la correction
Analyse et méthode. Cette fois, la base est \(2\) et non \(e\). La propriété \((a^x)'=\ln(a)\,a^x\), valable pour \(a>0\), indique directement le coefficient nécessaire pour déterminer une primitive.
On rappelle que :
\[ (2^x)'=(\ln2)2^x. \]Comme \(\ln2\ne0\), on obtient :
\[ \left( \frac{2^x}{\ln2} \right)' = 2^x. \]À retenir. Le facteur \(1/\ln2\) distingue la primitive de \(2^x\) de celle de \(e^x\).
Méthodes à retenir
Dans l’exercice 19, le choix de la formule de dérivation vient après l’étude du domaine. Une fonction comportant \(\sqrt{u}\) peut être définie à l’endroit où \(u=0\) sans y être dérivable ; la question d’une dérivée à droite doit alors être étudiée à l’aide du taux d’accroissement.
Dans l’exercice 20, la recherche d’une primitive ne consiste pas à appliquer une formule automatiquement. Il faut repérer une fonction intérieure \(u\), comparer le reste de l’expression à sa dérivée \(u'\), ajuster un éventuel coefficient et vérifier le résultat par dérivation. Le choix de l’intervalle de travail fait partie intégrante de la réponse.
Ces réflexes se retrouvent dans de nombreuses études de fonctions exponentielles et dans les exercices de calcul intégral.
Commentaires
Enregistrer un commentaire