Correction du Devoir 6 — Suites adjacentes, suites croisées et limites de sommes
Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques
Le manuel écrit : \[ u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2-1}. \] Cette expression n’est pas définie pour \(k=1\), car : \[ 1^2-1=0. \] De plus, l’identité donnée dans la question suivante est annoncée pour \(k\ge2\). La définition cohérente est donc : \[ \boxed{ u_n=\sum_{k=2}^{n}\frac1{k^2-1} \qquad (n\ge2). } \]
Partie A — Suites adjacentes et détermination de leur limite commune
Pour tout entier \(n\ge2\), on pose : \[ u_n=\sum_{k=2}^{n}\frac1{k^2-1} \] et : \[ v_n=u_n+\frac1n. \] 1. Montrer que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes. Que peut-on en conclure ?
2. En remarquant que, pour tout \(k\ge2\) : \[ \frac1{k^2-1} = \frac12 \left( \frac1{k-1}-\frac1{k+1} \right), \] donner une expression simplifiée de \(u_n\), puis en déduire sa limite.
1. Montrer que \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes
Lire la réponse +
Monotonie de \((u_n)\)
Pour tout entier \(n\ge2\) :
\[ \begin{aligned} u_{n+1}-u_n &= \frac1{(n+1)^2-1}\\ &= \frac1{n(n+2)}. \end{aligned} \]Comme \(n\ge2\) :
\[ \frac1{n(n+2)}\gt0. \]Donc :
\[ \boxed{ (u_n)\text{ est croissante}. } \]Monotonie de \((v_n)\)
On a :
\[ \begin{aligned} v_{n+1}-v_n &= u_{n+1}+\frac1{n+1} - u_n-\frac1n\\ &= \frac1{n(n+2)} + \frac1{n+1} - \frac1n\\ &= \frac1{n(n+2)} - \frac1{n(n+1)}\\ &= -\frac1{n(n+1)(n+2)}. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ v_{n+1}-v_n\lt0. \]Donc :
\[ \boxed{ (v_n)\text{ est décroissante}. } \]Différence entre les deux suites
Par définition :
\[ v_n-u_n=\frac1n. \]Or :
\[ \frac1n\longrightarrow0. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ (u_n)\text{ et }(v_n)\text{ sont adjacentes}. } \]Elles sont donc convergentes et possèdent la même limite.
2. Expression simplifiée et limite de \(u_n\)
Lire la réponse +
Pour tout entier \(k\ge2\) :
\[ \frac1{k^2-1} = \frac12 \left( \frac1{k-1}-\frac1{k+1} \right). \]Ainsi :
\[ u_n = \frac12 \sum_{k=2}^{n} \left( \frac1{k-1}-\frac1{k+1} \right). \]En développant :
\[ \begin{aligned} u_n = \frac12 \Bigg[ & \left( 1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{n-1} \right)\\ &- \left( \frac13+\frac14+\cdots+\frac1n+\frac1{n+1} \right) \Bigg]. \end{aligned} \]Les termes communs se simplifient. Il reste :
\[ u_n = \frac12 \left( 1+\frac12-\frac1n-\frac1{n+1} \right). \]Donc :
\[ \boxed{ u_n = \frac34-\frac1{2n}-\frac1{2(n+1)}. } \]Par conséquent :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=\frac34. } \]Comme les deux suites sont adjacentes :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}v_n=\frac34. } \]Partie B — Suites adjacentes et caractérisation de la limite d’une suite
Pour tout entier \(n\ge1\), on pose : \[ S_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k+1}}k = 1-\frac12+\frac13-\cdots+\frac{(-1)^{n+1}}n. \] Pour tout entier \(n\ge1\), on définit : \[ a_n=S_{2n} \qquad\text{et}\qquad b_n=S_{2n+1}. \] 1. Montrer que les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont adjacentes.
2. Conclure sur la nature de la suite \((S_n)\).
1. Montrer que \((a_n)\) et \((b_n)\) sont adjacentes
Lire la réponse +
Monotonie de \((a_n)\)
Pour tout entier \(n\ge1\) :
\[ \begin{aligned} a_{n+1}-a_n &= S_{2n+2}-S_{2n}\\ &= \frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}\\ &= \frac1{(2n+1)(2n+2)}. \end{aligned} \]Donc :
\[ a_{n+1}-a_n\gt0. \]Ainsi :
\[ \boxed{ (a_n)\text{ est croissante}. } \]Monotonie de \((b_n)\)
Pour tout entier \(n\ge1\) :
\[ \begin{aligned} b_{n+1}-b_n &= S_{2n+3}-S_{2n+1}\\ &= -\frac1{2n+2}+\frac1{2n+3}\\ &= -\frac1{(2n+2)(2n+3)}. \end{aligned} \]Donc :
\[ b_{n+1}-b_n\lt0. \]Ainsi :
\[ \boxed{ (b_n)\text{ est décroissante}. } \]Différence entre les deux suites
On a :
\[ \begin{aligned} b_n-a_n &= S_{2n+1}-S_{2n}\\ &= \frac1{2n+1}. \end{aligned} \]Donc :
\[ b_n-a_n\longrightarrow0. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ (a_n)\text{ et }(b_n)\text{ sont adjacentes}. } \]Notons \(\ell\) leur limite commune :
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n = \lim_{n\to+\infty}b_n = \ell. \]2. Nature de la suite \((S_n)\)
Lire la réponse +
La suite des termes de rang pair vérifie :
\[ S_{2n}=a_n\longrightarrow\ell. \]La suite des termes de rang impair vérifie :
\[ S_{2n+1}=b_n\longrightarrow\ell. \]Les termes de rang pair et les termes de rang impair convergent donc vers la même limite.
Par conséquent :
\[ \boxed{ (S_n)\text{ est convergente} } \]et :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}S_n=\ell. } \]Le calcul de la valeur exacte de \(\ell\) n’est pas demandé. Le but de cette partie est de prouver la convergence de \((S_n)\) à l’aide de ses termes de rang pair et impair.
Partie C — Étude de suites croisées
On considère les suites \((x_n)\) et \((y_n)\) définies par : \[ x_0=a,\qquad y_0=b \] et, pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ x_{n+1} = \frac{px_n+qy_n}{p+q} \] et : \[ y_{n+1} = \frac{qx_n+py_n}{p+q}, \] où \(a\), \(b\), \(p\) et \(q\) sont strictement positifs et : \[ 0\lt a\lt b \qquad\text{et}\qquad 0\lt q\lt p. \] 1.a) Déterminer \(x_n-y_n\) et \(x_n+y_n\), puis en déduire une expression de \(x_n\) et de \(y_n\).
1.b) En déduire que les deux suites convergent vers la limite commune : \[ \ell=\frac{a+b}{2}. \] 2. Retrouver ce résultat en montrant que \((x_n)\) et \((y_n)\) sont adjacentes.
1.a) Calcul de \(x_n-y_n\) et de \(x_n+y_n\)
Lire la réponse +
Étude de la différence
Pour tout entier naturel \(n\) :
\[ \begin{aligned} x_{n+1}-y_{n+1} &= \frac{px_n+qy_n}{p+q} - \frac{qx_n+py_n}{p+q}\\ &= \frac{(p-q)x_n-(p-q)y_n}{p+q}\\ &= \frac{p-q}{p+q}(x_n-y_n). \end{aligned} \]Posons :
\[ r=\frac{p-q}{p+q}. \]Comme \(0\lt q\lt p\), on a :
\[ 0\lt r\lt1. \]La suite \((x_n-y_n)\) est géométrique de raison \(r\) et de premier terme :
\[ x_0-y_0=a-b. \]Ainsi :
\[ \boxed{ x_n-y_n = (a-b) \left( \frac{p-q}{p+q} \right)^n. } \]Étude de la somme
Pour tout entier naturel \(n\) :
\[ \begin{aligned} x_{n+1}+y_{n+1} &= \frac{px_n+qy_n+qx_n+py_n}{p+q}\\ &= \frac{(p+q)x_n+(p+q)y_n}{p+q}\\ &= x_n+y_n. \end{aligned} \]La suite \((x_n+y_n)\) est donc constante. Par conséquent :
\[ \boxed{ x_n+y_n=x_0+y_0=a+b. } \]Expressions de \(x_n\) et de \(y_n\)
On dispose du système :
\[ \begin{cases} x_n+y_n=a+b,\\ x_n-y_n=(a-b)r^n. \end{cases} \]En additionnant les deux égalités :
\[ 2x_n = a+b+(a-b)r^n. \]Donc :
\[ \boxed{ x_n = \frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2} \left( \frac{p-q}{p+q} \right)^n. } \]En soustrayant la deuxième égalité de la première :
\[ 2y_n = a+b-(a-b)r^n. \]Donc :
\[ \boxed{ y_n = \frac{a+b}{2} - \frac{a-b}{2} \left( \frac{p-q}{p+q} \right)^n. } \]1.b) Limites des deux suites
Lire la réponse +
Puisque :
\[ 0\lt\frac{p-q}{p+q}\lt1, \]on a :
\[ \left( \frac{p-q}{p+q} \right)^n \longrightarrow0. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}x_n = \frac{a+b}{2} } \]et :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}y_n = \frac{a+b}{2}. } \]2. Retrouver le résultat à l’aide des suites adjacentes
Lire la réponse +
Comme :
\[ x_n-y_n = (a-b)r^n, \]avec \(a-b\lt0\) et \(r^n\gt0\), on a :
\[ x_n-y_n\lt0. \]Donc :
\[ x_n\lt y_n. \]Monotonie de \((x_n)\)
\[ \begin{aligned} x_{n+1}-x_n &= \frac{px_n+qy_n}{p+q}-x_n\\ &= \frac{q(y_n-x_n)}{p+q}. \end{aligned} \]Comme \(y_n-x_n\gt0\), on obtient :
\[ x_{n+1}-x_n\gt0. \]Ainsi :
\[ \boxed{ (x_n)\text{ est croissante}. } \]Monotonie de \((y_n)\)
\[ \begin{aligned} y_{n+1}-y_n &= \frac{qx_n+py_n}{p+q}-y_n\\ &= \frac{q(x_n-y_n)}{p+q}. \end{aligned} \]Comme \(x_n-y_n\lt0\), on obtient :
\[ y_{n+1}-y_n\lt0. \]Ainsi :
\[ \boxed{ (y_n)\text{ est décroissante}. } \]Différence entre les deux suites
\[ y_n-x_n = (b-a) \left( \frac{p-q}{p+q} \right)^n. \]Comme :
\[ 0\lt\frac{p-q}{p+q}\lt1, \]on obtient :
\[ y_n-x_n\longrightarrow0. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ (x_n)\text{ et }(y_n)\text{ sont adjacentes}. } \]Elles convergent vers la même limite. Comme :
\[ x_n+y_n=a+b, \]leur limite commune \(\ell\) vérifie :
\[ 2\ell=a+b. \]Ainsi :
\[ \boxed{ \ell=\frac{a+b}{2}. } \]Partie D — Calcul de la limite d’une somme à l’aide de suites adjacentes
Pour tout entier \(n\ge1\), on pose : \[ S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt{k}}, \] \[ U_n=2\sqrt n-S_n \] et : \[ V_n=2\sqrt{n+1}-S_n. \] 1. Montrer que : \[ S_n\longrightarrow+\infty. \] 2. Montrer que les suites \((U_n)\) et \((V_n)\) sont adjacentes, de limite commune \(L\ge1\).
3. Calculer : \[ \lim_{n\to+\infty}\frac{S_n}{n} \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{S_n}{\sqrt n}. \] 4. En déduire : \[ \lim_{n\to+\infty} \frac1{\sqrt n} \sum_{k=1}^{n} \frac1{\sqrt{n+k}}. \]
1. Montrer que \(S_n\longrightarrow+\infty\)
Lire la réponse +
Pour tout \(k\in\{1,2,\ldots,n\}\), on a :
\[ k\le n. \]Donc :
\[ \frac1{\sqrt{k}} \ge \frac1{\sqrt n}. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} S_n &= \sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt{k}}\\ &\ge \sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt n}\\ &= \frac{n}{\sqrt n}\\ &= \sqrt n. \end{aligned} \]Or :
\[ \sqrt n\longrightarrow+\infty. \]D’après le théorème de comparaison :
\[ \boxed{ S_n\longrightarrow+\infty. } \]2. Montrer que \((U_n)\) et \((V_n)\) sont adjacentes
Lire la réponse +
Monotonie de \((U_n)\)
Comme :
\[ S_{n+1}=S_n+\frac1{\sqrt{n+1}}, \]on a :
\[ \begin{aligned} U_{n+1}-U_n &= 2\sqrt{n+1}-S_{n+1} - \left(2\sqrt n-S_n\right)\\ &= 2(\sqrt{n+1}-\sqrt n) - \frac1{\sqrt{n+1}}. \end{aligned} \]Or :
\[ \sqrt{n+1}-\sqrt n = \frac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} U_{n+1}-U_n &= \frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt n} - \frac1{\sqrt{n+1}}\\ &= \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n} {\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt n\right)}\\ &\gt0. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \boxed{ (U_n)\text{ est croissante}. } \]Monotonie de \((V_n)\)
\[ \begin{aligned} V_{n+1}-V_n &= 2\sqrt{n+2}-S_{n+1} - \left(2\sqrt{n+1}-S_n\right)\\ &= 2(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}) - \frac1{\sqrt{n+1}}. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} V_{n+1}-V_n &= \frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}} - \frac1{\sqrt{n+1}}\\ &= \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n+2}} {\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}\right)}\\ &\lt0. \end{aligned} \]Donc :
\[ \boxed{ (V_n)\text{ est décroissante}. } \]Différence entre les deux suites
\[ \begin{aligned} V_n-U_n &= 2\sqrt{n+1}-S_n - \left(2\sqrt n-S_n\right)\\ &= 2(\sqrt{n+1}-\sqrt n)\\ &= \frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}. \end{aligned} \]Donc :
\[ V_n-U_n\longrightarrow0. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ (U_n)\text{ et }(V_n)\text{ sont adjacentes}. } \]Elles convergent vers une limite commune notée \(L\).
De plus :
\[ U_1=2\sqrt1-S_1=2-1=1. \]Comme la suite \((U_n)\) est croissante :
\[ U_n\ge U_1=1. \]En passant à la limite :
\[ \boxed{ L\ge1. } \]3. Calcul des limites de \(\dfrac{S_n}{n}\) et de \(\dfrac{S_n}{\sqrt n}\)
Lire la réponse +
Par définition :
\[ U_n=2\sqrt n-S_n. \]Donc :
\[ S_n=2\sqrt n-U_n. \]Première limite
En divisant par \(n\) :
\[ \frac{S_n}{n} = \frac2{\sqrt n} - \frac{U_n}{n}. \]La suite \((U_n)\) converge, donc elle est bornée. Par conséquent :
\[ \frac{U_n}{n}\longrightarrow0. \]De plus :
\[ \frac2{\sqrt n}\longrightarrow0. \]Ainsi :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}\frac{S_n}{n}=0. } \]Deuxième limite
En divisant par \(\sqrt n\) :
\[ \frac{S_n}{\sqrt n} = 2-\frac{U_n}{\sqrt n}. \]Comme \(U_n\longrightarrow L\), on a :
\[ \frac{U_n}{\sqrt n}\longrightarrow0. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}\frac{S_n}{\sqrt n}=2. } \]4. Calcul de la limite finale
Lire la réponse +
On remarque que :
\[ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt{n+k}} &= \frac1{\sqrt{n+1}} + \frac1{\sqrt{n+2}} +\cdots+ \frac1{\sqrt{2n}}\\ &= S_{2n}-S_n. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \frac1{\sqrt n} \sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt{n+k}} = \frac{S_{2n}}{\sqrt n} - \frac{S_n}{\sqrt n}. \]Or :
\[ \frac{S_{2n}}{\sqrt n} = \sqrt2\, \frac{S_{2n}}{\sqrt{2n}}. \]D’après la question précédente :
\[ \frac{S_{2n}}{\sqrt{2n}} \longrightarrow2. \]Donc :
\[ \frac{S_{2n}}{\sqrt n} \longrightarrow2\sqrt2. \]De plus :
\[ \frac{S_n}{\sqrt n}\longrightarrow2. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty} \frac1{\sqrt n} \sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt{n+k}} = 2\sqrt2-2. } \]Finalement :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty} \frac1{\sqrt n} \sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt{n+k}} = 2(\sqrt2-1). } \]Cet article propose une correction détaillée du Devoir 6 de la partie Problèmes de synthèse — Se préparer aux devoirs du chapitre Suites numériques du manuel Al Moufid.
Étudier plusieurs exemples de suites adjacentes, déterminer leur limite commune, exploiter des suites croisées et calculer la limite d’une somme à l’aide de résultats obtenus précédemment.
Dans le document fourni, le manuel passe directement du Devoir 4 au Devoir 6. La numérotation originale est conservée.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
Commentaires
Enregistrer un commentaire