Correction de l’exercice 12 — Suite affine et suite géométrique auxiliaire
Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques
Énoncé
On considère la suite \((u_n)\) définie par :
\[
u_0=1
\qquad\text{et}\qquad
u_{n+1}=\frac23u_n+\frac23
\quad\text{pour tout }n\in\mathbb N.
\]
On pose :
\[
v_n=2-u_n
\quad\text{pour tout }n\in\mathbb N.
\]
1. Montrer que la suite \((v_n)\) est géométrique et déterminer
sa raison et son premier terme.
2.
a) Déterminer \(v_n\), puis \(u_n\), en fonction de \(n\).
b) Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).
3. On pose : \[ S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k. \] Exprimer \(S_n\) en fonction de \(n\), puis déterminer sa limite.
2.
a) Déterminer \(v_n\), puis \(u_n\), en fonction de \(n\).
b) Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).
3. On pose : \[ S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k. \] Exprimer \(S_n\) en fonction de \(n\), puis déterminer sa limite.
1. Étude de la suite auxiliaire \((v_n)\)
Lire la réponse +
Idée utile :
Pour montrer qu’une suite est géométrique, on exprime \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\) et on cherche une relation de la forme : \[ v_{n+1}=qv_n. \]
Pour montrer qu’une suite est géométrique, on exprime \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\) et on cherche une relation de la forme : \[ v_{n+1}=qv_n. \]
Pour tout \(n\in\mathbb N\), on a :
\[ v_{n+1}=2-u_{n+1}. \]Or :
\[ u_{n+1}=\frac23u_n+\frac23. \]Donc :
\[ \begin{aligned} v_{n+1} &=2-\left(\frac23u_n+\frac23\right)\\ &=2-\frac23u_n-\frac23\\ &=\frac43-\frac23u_n\\ &=\frac23(2-u_n). \end{aligned} \]Comme \(v_n=2-u_n\), on obtient :
\[ v_{n+1}=\frac23v_n. \]Ainsi, la suite \((v_n)\) est géométrique de raison :
\[ q=\frac23. \]Calculons son premier terme :
\[ v_0=2-u_0=2-1=1. \]
Réponse :
La suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(\frac23\) et de premier terme \(v_0=1\). \[ \boxed{v_{n+1}=\frac23v_n,\qquad v_0=1.} \]
La suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(\frac23\) et de premier terme \(v_0=1\). \[ \boxed{v_{n+1}=\frac23v_n,\qquad v_0=1.} \]
2.a) Expression de \(v_n\), puis de \(u_n\)
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La suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(\frac23\) et de premier terme \(v_0=1\). Par conséquent, pour tout \(n\in\mathbb N\) :
\[ v_n=v_0\left(\frac23\right)^n. \]Comme \(v_0=1\), on obtient :
\[ v_n=\left(\frac23\right)^n. \]Or :
\[ v_n=2-u_n. \]Donc :
\[ u_n=2-v_n. \]Ainsi :
\[ u_n=2-\left(\frac23\right)^n. \]
Réponse :
\[
\boxed{v_n=\left(\frac23\right)^n}
\]
et :
\[
\boxed{u_n=2-\left(\frac23\right)^n.}
\]
Vérification :
Pour \(n=0\), la formule donne : \[ u_0=2-\left(\frac23\right)^0=2-1=1, \] ce qui correspond bien au premier terme donné dans l’énoncé.
Pour \(n=0\), la formule donne : \[ u_0=2-\left(\frac23\right)^0=2-1=1, \] ce qui correspond bien au premier terme donné dans l’énoncé.
2.b) Limite de la suite \((u_n)\)
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On sait que :
\[ 0\lt\frac23\lt1. \]Par conséquent :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac23\right)^n=0. \]Or :
\[ u_n=2-\left(\frac23\right)^n. \]En passant à la limite, on obtient :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=2-0=2. \]
Réponse finale :
\[
\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=2.}
\]
3. Calcul de la somme \(S_n\)
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On pose :
\[ S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k. \]Comme :
\[ u_k=2-\left(\frac23\right)^k, \]on obtient :
\[ S_n=\sum_{k=0}^{n}\left(2-\left(\frac23\right)^k\right). \]En séparant les deux sommes :
\[ S_n=\sum_{k=0}^{n}2-\sum_{k=0}^{n}\left(\frac23\right)^k. \]La première somme contient \(n+1\) termes égaux à \(2\), donc :
\[ \sum_{k=0}^{n}2=2(n+1). \]D’autre part, la somme géométrique de raison \(\frac23\) est :
\[ \sum_{k=0}^{n}\left(\frac23\right)^k = \frac{1-\left(\frac23\right)^{n+1}} {1-\frac23}. \]Comme :
\[ 1-\frac23=\frac13, \]on obtient :
\[ \sum_{k=0}^{n}\left(\frac23\right)^k = 3\left(1-\left(\frac23\right)^{n+1}\right). \]Ainsi :
\[ S_n = 2(n+1) - 3\left(1-\left(\frac23\right)^{n+1}\right). \]En développant :
\[ \begin{aligned} S_n &=2n+2-3+3\left(\frac23\right)^{n+1}\\ &=2n-1+3\left(\frac23\right)^{n+1}. \end{aligned} \]
Expression de la somme :
\[
\boxed{
S_n=2n-1+3\left(\frac23\right)^{n+1}.
}
\]
Limite de \(S_n\)
Lorsque \(n\to+\infty\), on a :
\[ 2n-1\to+\infty \]et :
\[ 3\left(\frac23\right)^{n+1}\to0. \]Par conséquent :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}S_n=+\infty.} \]
Présentation :
Cet article propose une correction détaillée de l’exercice 12 du chapitre Suites numériques du manuel Al Moufid. L’exercice porte sur une suite définie par une relation affine de la forme \(u_{n+1}=a u_n+b\).
Cet article propose une correction détaillée de l’exercice 12 du chapitre Suites numériques du manuel Al Moufid. L’exercice porte sur une suite définie par une relation affine de la forme \(u_{n+1}=a u_n+b\).
Objectif pédagogique :
Apprendre à transformer une suite affine en une suite géométrique à l’aide d’une suite auxiliaire, puis déterminer le terme général, la limite et une somme de termes consécutifs.
Apprendre à transformer une suite affine en une suite géométrique à l’aide d’une suite auxiliaire, puis déterminer le terme général, la limite et une somme de termes consécutifs.
Méthode générale :
Pour une suite vérifiant \(u_{n+1}=a u_n+b\), on cherche d’abord le nombre \(\ell\) vérifiant : \[ \ell=a\ell+b. \] On introduit ensuite la suite auxiliaire : \[ v_n=\ell-u_n \] ou \(v_n=u_n-\ell\). Cette nouvelle suite est généralement géométrique.
Pour une suite vérifiant \(u_{n+1}=a u_n+b\), on cherche d’abord le nombre \(\ell\) vérifiant : \[ \ell=a\ell+b. \] On introduit ensuite la suite auxiliaire : \[ v_n=\ell-u_n \] ou \(v_n=u_n-\ell\). Cette nouvelle suite est généralement géométrique.
Bilan méthodologique :
1. On transforme la suite affine en une suite géométrique à l’aide de \(v_n=2-u_n\).
2. On détermine le terme général de la suite géométrique : \[ v_n=\left(\frac23\right)^n. \] 3. On revient à la suite initiale : \[ u_n=2-\left(\frac23\right)^n. \] 4. Pour calculer \(S_n\), on utilise la formule de la somme des termes d’une suite géométrique.
1. On transforme la suite affine en une suite géométrique à l’aide de \(v_n=2-u_n\).
2. On détermine le terme général de la suite géométrique : \[ v_n=\left(\frac23\right)^n. \] 3. On revient à la suite initiale : \[ u_n=2-\left(\frac23\right)^n. \] 4. Pour calculer \(S_n\), on utilise la formule de la somme des termes d’une suite géométrique.
Ressources liées :
Préparé par :
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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