Étude de la fonction f(x)=4ˣ−2ˣ⁺¹ — Exercice 06 corrigé

Étude de la fonction f(x)=4ˣ−2ˣ⁺¹

Limites, variations, tangente et construction de la courbe — Exercice 06 corrigé

Énoncé

On considère la fonction f définie sur ℝ par :

$$f\left(x\right)=4^x-2^{x+1}$$

On demande de calculer les limites, d’étudier les variations, de déterminer la tangente au point d’abscisse 0 et de construire la courbe représentative.

Question a — Calcul des limites

Rappel de la question

Calculer les limites de f en +∞ et en −∞.

Idée utile : écrire f avec les puissances de 2 et utiliser une factorisation adaptée en +∞.

Réponse

On peut écrire :

$$f\left(x\right)={2^x}^2-22^x={2^x-1}^2-1$$

Lorsque x tend vers +∞, on utilise aussi :

$$f\left(x\right)=4^x(1-2^{1-x})$$

Le premier facteur tend vers +∞ et le second tend vers 1. Par conséquent :

$$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=+\infty$$

Lorsque x tend vers −∞, les deux puissances 4ˣ et 2ˣ⁺¹ tendent vers 0. Ainsi :

$$\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=0$$

Réponse finale : f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞, et f(x) tend vers 0 lorsque x tend vers −∞.

Question b — Variations de f

Rappel de la question

Étudier les variations de la fonction f.

Réponse

La fonction f est dérivable sur ℝ et :

$$f^{\prime }\left(x\right)=\ln \left(4\right)4^x-\ln \left(2\right)2^{x+1}$$

Comme ln(4)=2ln(2), on obtient :

$$f^{\prime }\left(x\right)=2\ln \left(2\right)2^x(2^x-1)$$

Les facteurs 2, ln(2) et 2ˣ sont strictement positifs. Le signe de f′(x) est donc celui de 2ˣ−1.

• si x<0, alors 2ˣ<1, donc f′(x)<0 ;
• si x=0, alors f′(0)=0 ;
• si x>0, alors 2ˣ>1, donc f′(x)>0.

Ainsi, f est décroissante sur ]−∞,0] puis croissante sur [0,+∞[.

La valeur minimale est :

$$f\left(0\right)=1-2=-1$$

Réponse finale : la fonction f admet un minimum égal à −1 au point d’abscisse 0.

Question c — Tangente au point d’abscisse 0

Rappel de la question

Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de f en x=0.

Réponse

On a f(0)=−1 et f′(0)=0. L’équation de la tangente est donc :

$$y=f^{\prime }\left(0\right)(x-0)+f\left(0\right)=-1$$

Réponse finale : la tangente au point d’abscisse 0 est la droite d’équation y=−1.

Question d — Construction de la courbe

Rappel de la question

Construire la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

Idée utile : regrouper les limites, les variations, la tangente et les points remarquables avant de tracer.

Réponse

Pour préparer le tracé, on utilise les informations suivantes :

• la droite y=0 est une asymptote horizontale au voisinage de −∞ ;
• la courbe décroît jusqu’au point A(0,−1), puis elle croît ;
• la tangente en A est horizontale et a pour équation y=−1 ;
• la courbe coupe l’axe des abscisses en un point à déterminer.

Pour déterminer ce point, on factorise :

$$f\left(x\right)=2^x(2^x-2)$$

Comme 2ˣ est strictement positif :

$$f\left(x\right)=0\iff 2^x=2\iff x=1$$

La courbe coupe donc l’axe des abscisses au point B(1,0). Elle reste négative pour x<1 et positive pour x>1.

Éléments essentiels du tracé : asymptote y=0 au voisinage de −∞, minimum A(0,−1), tangente y=−1, intersection B(1,0), décroissance puis croissance.

Représentation graphique de la fonction f

Correction manuscrite originale — support complémentaire

Remarque pédagogique : la correction écrite ci-dessus a été vérifiée directement à partir de l’énoncé. L’image manuscrite est conservée comme support complémentaire.

Exercice corrigé par M. Hammou Boudraa — Professeur de mathématiques au Lycée Oum Rabiaâ, M’rirt