Concours Médecine Maroc 2022 — Énoncé de mathématiques

Concours d’accès à l’école de médecine — Épreuve de mathématiques — Session 2022.

20 QSM — une seule réponse juste par question — durée indiquée : 45 minutes.

Cette page présente l’énoncé de la partie mathématiques du concours Médecine Maroc 2022. Elle permet aux élèves de s’entraîner sur un sujet de type QSM avec une durée limitée.

L’objectif est de travailler les automatismes utiles en concours : nombres complexes, équations différentielles, limites, intégrales, géométrie dans l’espace, probabilités, suites et dérivation.

Voir la correction détaillée Guide Concours Médecine Page Concours

Consignes de l’énoncé transmis

Session indiquée : 2022.
Durée indiquée : 45 minutes.
Nombre de questions : 20 QSM.
Chaque QSM comporte une seule réponse juste.
L’utilisation de toute sorte de calculatrice est indiquée comme interdite.

Remarque importante : ces informations sont reprises de l’énoncé transmis pour cette publication pédagogique. Les consignes, durées, conditions d’accès et modalités peuvent changer selon l’année. Pour toute inscription ou préparation officielle, il faut vérifier l’annonce officielle de l’année concernée.

Conseil avant de commencer

Il est conseillé de traiter les 20 questions avec un chronomètre, puis de comparer les réponses avec la correction détaillée. Dans un concours, il faut savoir reconnaître rapidement la forme mathématique de chaque question.

Énoncé de mathématiques

Question 1

Dans \(\mathbb C\), l’ensemble des solutions de l’équation :

\[ \frac{2z-1}{z+1}=z \]

est :

A) \(\left\{-1;\frac12\right\}\)
B) \(\left\{1+i\sqrt3;1-i\sqrt3\right\}\)
C) \(\left\{\frac{1+i\sqrt3}{2};\frac{1-i\sqrt3}{2}\right\}\)
D) \(\left\{i\sqrt3;-i\sqrt3\right\}\)
E) Autre réponse

Question 2

Si \(f\) est une solution sur \(\mathbb R\) de l’équation différentielle :

\[ y''+2y'+4y=0 \]

alors \(g=2f\) est une solution sur \(\mathbb R\) de l’équation différentielle :

A) \(y''+2y'+4y=0\)
B) \(y''+y'+y=0\)
C) \(y''+4y'+4y=0\)
D) \(2y''+4y'+y=0\)
E) Autre réponse

Question 3

Si :

\[ z=e^{ix}-e^{-ix} \]

avec \(x\in]0;\pi[\), alors \(|z|\) est égale à :

A) \(2\)
B) \(2\cos x\)
C) \(2\cos\frac{x}{2}\)
D) \(2\sin x\)
E) \(2\sin\frac{x}{2}\)

Question 4

La limite :

\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n-\sqrt{n^2-n}\right) \]

est égale à :

A) \(-\infty\)
B) \(0\)
C) \(\frac12\)
D) \(1\)
E) Autre réponse

Question 5

Dans \(\mathbb C\), si :

\[ \arg(iz)\equiv \frac{7\pi}{6}\ [2\pi] \]

et \(|z|=\sqrt2\), alors la partie imaginaire de \(z^3\) est :

A) \(0\)
B) \(2\sqrt2\)
C) \(\sqrt2\)
D) \(-\sqrt2\)
E) \(-2\sqrt2\)

Question 6

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère les deux points :

\[ A(1;2;3) \quad \text{et} \quad B(2;0;1). \]

L’ensemble des points \(M(x;y;z)\) équidistants des points \(A\) et \(B\) est :

A) Le plan \(x-y+z=6\)
B) Le plan \(2x-4y-4z=-9\)
C) Le plan \(2x-4y-4z=9\)
D) La droite : \(x+y+z=6\) et \(2x-4y-4z=-9\)
E) Autre réponse

Question 7

Soit \(a\in\mathbb R^*\). Si :

\[ \int_0^1 \frac{e^{ax}}{e^{ax}+1}\,dx=\frac1a \]

alors \(a\) est égal à :

A) \(\ln(e-1)\)
B) \(2e-1\)
C) \(\ln(2e+1)\)
D) \(\ln(2e-1)\)
E) \(2e+1\)

Question 8

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.

Soit \(z\) un nombre complexe et \(\Omega\), \(M\) et \(M'\) les points d’affixes respectivement :

\[ -\frac{\sqrt3}{3},\quad z,\quad z' \]

tels que :

\[ z'=(1+i\sqrt3)z+i. \]

Alors une mesure de l’angle \(\left(\overrightarrow{\Omega M};\overrightarrow{\Omega M'}\right)\) est :

A) \(\frac{2\pi}{3}\)
B) \(\frac{\pi}{3}\)
C) \(-\frac{2\pi}{3}\)
D) \(-\frac{\pi}{3}\)
E) \(\frac{\pi}{6}\)

Question 9

\(ABCD\) est un carré de côté \(1\).

On place les points \(E\) et \(F\) respectivement sur les côtés \([AB]\) et \([BC]\) tels que :

\[ BE=CF=x. \]

La valeur de \(x\) pour laquelle l’aire du triangle \(EFD\) est minimale est :

A) \(0\)
B) \(\frac14\)
C) \(\frac13\)
D) \(\frac12\)
E) Autre réponse

Question 10

Dans \(\mathbb C\), si :

\[ |z|-z=3-i\sqrt3 \]

alors \(|z|\) est égale à :

A) \(0\)
B) \(2\)
C) \(2\sqrt3\)
D) \(3\sqrt2\)
E) \(7\sqrt2\)

Question 11

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.

Soient \(A\) et \(B\) les points d’affixes respectives \(-i\) et \(i\).

L’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que :

\[ \left|\frac{iz-1}{\overline z+i}\right|=1 \]

est :

A) La médiatrice du segment \([AB]\)
B) La droite \((AB)\)
C) La droite \((AB)\) privée du point \(B\)
D) Le cercle de diamètre \([AB]\)
E) Le cercle de diamètre \([AB]\) privé du point \(B\)

Question 12

Soit \(x\in\mathbb R^*\). Si :

\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{x}{7n}\right)^{29n}=2022 \]

alors \(x\) est égal à :

A) \(\frac{29}{7}\ln 2022\)
B) \(2022\ln\frac{7}{29}\)
C) \(2022\ln\frac{29}{7}\)
D) \(\frac{7}{29}\ln 2022\)
E) Autre réponse

Question 13

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère le plan \((P)\) d’équation :

\[ 3x-2z+3=0. \]

On dispose d’un dé régulier dont les faces sont numérotées de \(1\) à \(6\).

On lance le dé et on obtient ainsi de manière équiprobable un nombre \(a\), avec \(1\leq a\leq6\).

La probabilité que le point \(A(a^2;2a;6a-3)\) appartienne au plan \((P)\) est :

A) \(\frac16\)
B) \(\frac13\)
C) \(\frac12\)
D) \(\frac23\)
E) Autre réponse

Question 14

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=2e^{3x}-6. \]

La primitive de la fonction sur \(\mathbb R\) dont la courbe coupe l’axe des ordonnées en \(3\) est définie par :

A) \(F(x)=\frac23 e^{3x}-6x-\frac23\)
B) \(F(x)=\frac23 e^{3x}-6x+\frac73\)
C) \(F(x)=\frac23 e^{3x}-6x-\frac73\)
D) \(F(x)=\frac23 e^{3x}-6x+\frac23\)
E) Autre réponse

Question 15

L’intégrale :

\[ \int_0^3 \frac{x^2+2}{\sqrt{x^3+6x+4}}\,dx \]

est égale à :

A) \(\frac13\)
B) \(\frac83\)
C) \(\frac{10}{3}\)
D) \(\frac{14}{3}\)
E) Autre réponse

Question 16

Si \((v_n)_{n\in\mathbb N^*}\) est une suite telle que :

\[ \forall n\in\mathbb N^*,\quad v_1+v_2+\cdots+v_{n-1}+v_n=2n^2+n, \]

alors :

A) \(v_8=31\)
B) \(v_8=53\)
C) \(v_8=54\)
D) \(v_8=62\)
E) \(v_8=64\)

Question 17

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ \forall x\in\mathbb R,\quad f(2x-1)=x^2+3x. \]

Alors \(f(1)+f'(1)\) est égale à :

A) \(\frac52\)
B) \(4\)
C) \(\frac92\)
D) \(\frac{13}{2}\)
E) Autre réponse

Question 18

Si pour tout entier naturel \(n\),

\[ I_n=\int_1^e x(\ln x)^n\,dx, \]

alors, pour tout \(n\in\mathbb N^*\), \(2I_{n+1}+(n+1)I_n\) est égal à :

A) \(e\)
B) \(e^2\)
C) \(1\)
D) \(\frac{e-1}{2}\)
E) \(\frac{e+1}{2}\)

Question 19

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=\sum_{k=0}^{n}x^k=1+x+x^2+\cdots+x^n. \]

Et soit \((C)\) sa courbe dans un repère orthonormé.

L’équation réduite de la tangente à \((C)\) au point d’abscisse \(1\) est :

A) \(y=\frac{n(n+1)}{2}x-\frac{(n-2)(n+1)}{2}\)
B) \(y=\frac{n(n-1)}{2}x-\frac{(n-2)(n+1)}{2}\)
C) \(y=\frac{n(n+1)}{2}x+\frac{(n-2)(n+1)}{2}\)
D) \(y=\frac{n(n-1)}{2}x-\frac{n^2-1}{2}\)

Question 20

Soit la suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) définie par :

\[ u_0\in]0;1[ \]

et :

\[ \forall n\in\mathbb N,\quad u_{n+1}=f(u_n), \]

où \(f\) est la fonction définie sur \([0;1]\) par :

\[ f(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{1-x}}. \]

On a alors :

A) \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0\)
B) \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\frac13\)
C) \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1\)
D) \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty\)
E) Autre réponse

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