Concours Médecine Maroc 2022 — Énoncé de mathématiques
Concours d’accès aux études de Médecine — Épreuve de mathématiques
Session 2022 — Mathématiques — 20 questions à choix simple
Cette page présente les vingt questions de mathématiques du concours Médecine Maroc, session 2022. Les problèmes proposés mobilisent plusieurs domaines du programme du lycée : nombres complexes, équations différentielles, limites de suites, calcul intégral, géométrie dans l’espace, probabilités, dérivation et étude des fonctions. Les questions et leurs propositions sont reprises dans l’ordre de l’énoncé conservé, afin de permettre un entraînement cohérent avec la structure de cette session.
L’intérêt de cette épreuve est d’apprendre à reconnaître rapidement une notion mathématique et à choisir la propriété appropriée. La brièveté d’un QSM ne dispense pas de vérifier les hypothèses, les domaines de définition ni les transformations algébriques. Les repères pédagogiques placés avant chaque groupe présentent les stratégies générales sans donner les réponses. Une première résolution autonome, puis une reprise raisonnée des difficultés, permettent de mieux préparer des questions de concours dont la formulation peut être très concise.
Présentation de l’épreuve
Pour la session 2022, le document transmis indique 20 questions à choix simple, une durée de 45 minutes et l’interdiction d’utiliser une calculatrice. Chaque question est annoncée comme possédant une seule bonne réponse. Les modalités peuvent varier entre les sessions : ces indications concernent uniquement le sujet présenté ici.
Dans l’archive utilisée, les questions 1 à 18 et la question 20 possèdent chacune les cinq propositions A à E. La question 19 ne comporte que quatre propositions, A à D. Cette particularité est signalée sans modifier le contenu de la question.
Méthode générale pour traiter les QSM
Commencez par identifier ce que l’on cherche : une valeur exacte, une équation, une limite, un ensemble géométrique, un nombre dérivé ou une probabilité. Relevez ensuite les conditions présentes dans l’énoncé. Une division suppose un dénominateur non nul ; une puissance réelle ou un logarithme impose des précautions sur son domaine ; une probabilité nécessite une expérience aléatoire précisément définie.
Choisissez ensuite une méthode issue du cours, justifiez les transformations et comparez le résultat aux réponses proposées. La proposition « Autre réponse », lorsqu’elle figure parmi les choix, ne doit jamais être retenue simplement parce qu’un calcul n’a pas abouti. Après l’entraînement, reprenez séparément les difficultés de raisonnement, de calcul et de lecture.
Précision sur la question 19
La question 19 de cette archive contient seulement quatre réponses proposées, alors que les consignes générales en annoncent cinq. Les expressions disponibles sont conservées sans ajout d’une proposition supposée.
Questions 1 à 4 — Nombres complexes, équations différentielles et limites
La première question concerne une équation dans l’ensemble des nombres complexes. Avant toute multiplication par un dénominateur, il faut exclure les valeurs qui annulent celui-ci, puis contrôler les solutions trouvées dans l’équation initiale. La deuxième question utilise une équation différentielle linéaire homogène : la propriété à reconnaître porte sur le comportement des solutions lorsqu’on les multiplie par une constante. Il ne faut pas confondre cette propriété avec le calcul explicite de toutes les solutions.
La troisième question relie des expressions exponentielles complexes à un module. Le choix d’une écriture algébrique ou trigonométrique dépend du résultat demandé et des hypothèses sur l’angle. La quatrième question demande une limite mettant en jeu une différence avec une racine carrée. Lorsqu’une substitution directe conduit à une forme indéterminée, une transformation algébrique justifiée peut rendre la limite accessible par les résultats usuels du cours.
Question 1
Dans \(\mathbb C\), l’ensemble des solutions de l’équation :
\[ \frac{2z-1}{z+1}=z \]est :
Question 2
Si \(f\) est une solution sur \(\mathbb R\) de l’équation différentielle :
\[ y''+2y'+4y=0 \]alors \(g=2f\) est une solution sur \(\mathbb R\) de l’équation différentielle :
Question 3
Si :
\[ z=e^{ix}-e^{-ix} \]avec \(x\in]0;\pi[\), alors \(|z|\) est égale à :
Question 4
La limite :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n-\sqrt{n^2-n}\right) \]est égale à :
Questions 5 à 8 — Arguments, géométrie et calcul intégral
La question 5 demande de distinguer l’argument d’un complexe, son module et la partie imaginaire de l’une de ses puissances. Il faut utiliser les propriétés adaptées à chacune de ces grandeurs et tenir compte des angles définis modulo un tour complet. La question 6 fait intervenir un ensemble de points de l’espace équidistants de deux points fixes : la traduction des distances en égalités de coordonnées permet d’identifier la nature géométrique de cet ensemble.
Dans la question 7, l’intégrale dépend d’un paramètre réel non nul. La méthode consiste à reconnaître le lien entre le numérateur d’une fonction rationnelle en exponentielle et la dérivée d’une expression logarithmique, en vérifiant les conditions d’application. La question 8 concerne une transformation du plan complexe : avant de lire un angle orienté, il convient de comprendre la relation entre les affixes et de s’assurer que les vecteurs définissant l’angle sont non nuls.
Question 5
Dans \(\mathbb C\), si :
\[ \arg(iz)\equiv \frac{7\pi}{6}\ [2\pi] \]et \(|z|=\sqrt2\), alors la partie imaginaire de \(z^3\) est :
Question 6
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère les deux points :
\[ A(1;2;3) \quad \text{et} \quad B(2;0;1). \]L’ensemble des points \(M(x;y;z)\) équidistants des points \(A\) et \(B\) est :
Question 7
Soit \(a\in\mathbb R^*\). Si :
\[ \int_0^1 \frac{e^{ax}}{e^{ax}+1}\,dx=\frac1a \]alors \(a\) est égal à :
Question 8
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.
Soit \(z\) un nombre complexe et \(\Omega\), \(M\) et \(M'\) les points d’affixes respectivement :
\[ -\frac{\sqrt3}{3},\quad z,\quad z' \]tels que :
\[ z'=(1+i\sqrt3)z+i. \]Alors une mesure de l’angle \(\left(\overrightarrow{\Omega M};\overrightarrow{\Omega M'}\right)\) est :
Questions 9 à 12 — Optimisation, lieux géométriques et limites
La question 9 transforme une situation de géométrie plane en problème d’optimisation. Les longueurs sont liées par une même variable : il faut d’abord en déterminer l’intervalle possible, exprimer l’aire cherchée en fonction de cette variable, puis étudier les variations. Il est essentiel de contrôler également les valeurs situées aux bornes de l’intervalle lorsque le problème les autorise.
Dans les questions 10 et 11, le module d’un complexe possède une interprétation géométrique mais doit aussi respecter les opérations algébriques utilisées. Une expression sous forme de quotient n’est définie que lorsque son dénominateur est non nul. La question 12 porte sur une limite de puissances, où un nombre constant apparaît dans un exposant dépendant de l’indice : il faut identifier la limite usuelle applicable avant d’effectuer les transformations logarithmiques nécessaires.
Question 9
\(ABCD\) est un carré de côté \(1\).
On place les points \(E\) et \(F\) respectivement sur les côtés \([AB]\) et \([BC]\) tels que :
\[ BE=CF=x. \]La valeur de \(x\) pour laquelle l’aire du triangle \(EFD\) est minimale est :
Question 10
Dans \(\mathbb C\), si :
\[ |z|-z=3-i\sqrt3 \]alors \(|z|\) est égale à :
Question 11
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.
Soient \(A\) et \(B\) les points d’affixes respectives \(-i\) et \(i\).
L’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que :
\[ \left|\frac{iz-1}{\overline z+i}\right|=1 \]est :
Question 12
Soit \(x\in\mathbb R^*\). Si :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{x}{7n}\right)^{29n}=2022 \]alors \(x\) est égal à :
Questions 13 à 16 — Probabilités, primitives, intégrales et suites
La question 13 associe le lancer d’un dé à l’appartenance d’un point à un plan. L’événement recherché doit être traduit en une condition algébrique sur le résultat du dé, puis étudié parmi les issues équiprobables. La question 14 fait intervenir une primitive soumise à une condition initiale : calculer une primitive générale ne suffit pas, car la valeur imposée en un point permet de déterminer sa constante.
Dans la question 15, la forme du dénominateur et celle du numérateur doivent être examinées ensemble pour choisir une primitive appropriée. Avant de calculer les valeurs aux bornes, il faut vérifier que l’intégrale est bien définie. La question 16 concerne une suite dont on connaît la somme des premiers termes ; la stratégie consiste à distinguer une somme partielle de son terme général, puis à exploiter leur relation pour obtenir la valeur demandée.
Question 13
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère le plan \((P)\) d’équation :
\[ 3x-2z+3=0. \]On dispose d’un dé régulier dont les faces sont numérotées de \(1\) à \(6\).
On lance le dé et on obtient ainsi de manière équiprobable un nombre \(a\), avec \(1\leq a\leq6\).
La probabilité que le point \(A(a^2;2a;6a-3)\) appartienne au plan \((P)\) est :
Question 14
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)=2e^{3x}-6. \]La primitive de la fonction sur \(\mathbb R\) dont la courbe coupe l’axe des ordonnées en \(3\) est définie par :
Question 15
L’intégrale :
\[ \int_0^3 \frac{x^2+2}{\sqrt{x^3+6x+4}}\,dx \]est égale à :
Question 16
Si \((v_n)_{n\in\mathbb N^*}\) est une suite telle que :
\[ \forall n\in\mathbb N^*,\quad v_1+v_2+\cdots+v_{n-1}+v_n=2n^2+n, \]alors :
Questions 17 à 20 — Dérivation, intégration et suites récurrentes
La question 17 fournit une relation fonctionnelle dans laquelle l’argument de la fonction est transformé. Pour déterminer une valeur et un nombre dérivé, il faut identifier le point correspondant puis utiliser les règles de dérivation en tenant compte de cette transformation. La question 18 met en relation des intégrales dépendant d’un entier : l’intégration par parties est une méthode possible lorsqu’on souhaite relier deux indices consécutifs.
La question 19 fait intervenir un polynôme défini comme une somme finie. La tangente à sa courbe en une abscisse donnée dépend à la fois de la valeur de la fonction et de celle de sa dérivée. Enfin, la question 20 concerne une suite définie par récurrence : pour conclure sur sa limite, il faut d’abord justifier le comportement de la suite, en exploitant si nécessaire un intervalle stable, la monotonie et les points fixes de la fonction de récurrence.
Question 17
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ \forall x\in\mathbb R,\quad f(2x-1)=x^2+3x. \]Alors \(f(1)+f'(1)\) est égale à :
Question 18
Si pour tout entier naturel \(n\),
\[ I_n=\int_1^e x(\ln x)^n\,dx, \]alors, pour tout \(n\in\mathbb N^*\), \(2I_{n+1}+(n+1)I_n\) est égal à :
Question 19
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)=\sum_{k=0}^{n}x^k=1+x+x^2+\cdots+x^n. \]Et soit \((C)\) sa courbe dans un repère orthonormé.
L’équation réduite de la tangente à \((C)\) au point d’abscisse \(1\) est :
Attention : quatre propositions seulement (A à D) figurent dans cette version de l’énoncé. La proposition E n’est pas fournie.
Question 20
Soit la suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) définie par :
\[ u_0\in]0;1[ \]et :
\[ \forall n\in\mathbb N,\quad u_{n+1}=f(u_n), \]où \(f\) est la fonction définie sur \([0;1]\) par :
\[ f(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{1-x}}. \]On a alors :
Après l’épreuve : identifier la difficulté rencontrée
Une réponse correcte doit pouvoir être justifiée par un résultat du cours et par la vérification de ses conditions. Après vos vingt questions, revenez sur les réponses obtenues par élimination ou par intuition : il est possible d’avoir choisi la bonne lettre sans maîtriser la démarche. Pour chaque hésitation, notez la notion utilisée, le passage de calcul décisif et l’erreur éventuelle à éviter lors d’une nouvelle tentative.
Les questions mêlant plusieurs chapitres sont particulièrement utiles à reprendre. En géométrie, vérifiez que l’expression algébrique correspond bien à la propriété annoncée. Pour les limites, précisez quelle transformation résout la difficulté initiale. Pour les probabilités, identifiez clairement les issues favorables et les issues possibles. Cette analyse rend les méthodes réutilisables bien au-delà de l’exercice concerné.
Poursuivre la préparation aux concours de médecine
L’épreuve de mathématiques 2022 sollicite des connaissances nombreuses dans un format très court. Une préparation efficace associe la compréhension des propriétés, le choix raisonné d’une méthode et le contrôle du résultat. Pour progresser, reprenez les questions difficiles à partir de votre cours, puis refaites-les après quelques jours sans consulter vos anciennes réponses.
Vous pouvez ensuite poursuivre avec les énoncés des sessions 2023, 2024 et 2025. Le passage d’une annale à l’autre permet de rencontrer d’autres formulations, tout en appliquant les mêmes principes : reconnaître la notion, vérifier les hypothèses, justifier la transformation et interpréter le résultat.
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Parcours Maths Maroc — PMM
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