Correction de l’exercice 21
Fonctions exponentielles — Dérivées successives et primitives
2e Bac Sciences Mathématiques
Cette page propose la correction détaillée de l’exercice 21 du chapitre « Fonctions exponentielles » du manuel Al Moufid. L’exercice consiste à établir une relation entre une fonction, sa dérivée et sa dérivée seconde, puis à en déduire ses primitives.
Exercice 21 Relation différentielle et primitives
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)=e^{2x}\cos x. \]1) Montrer qu’il existe deux réels \(\alpha\) et \(\beta\), à déterminer, tels que :
\[ (\forall x\in\mathbb R)\qquad f(x)-\alpha f'(x)+\beta f''(x)=0. \]2) En déduire les primitives de \(f\) sur \(\mathbb R\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
La fonction donnée est :
\[ f(x)=e^{2x}\cos x. \]La fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb R\).
Calcul de la dérivée première.
En appliquant la formule de dérivation d’un produit :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= (e^{2x})'\cos x + e^{2x}(\cos x)'\\ &= 2e^{2x}\cos x - e^{2x}\sin x. \end{aligned} \]Donc :
\[ \boxed{ f'(x)=e^{2x}(2\cos x-\sin x) }. \]Calcul de la dérivée seconde.
\[ f'(x)=e^{2x}(2\cos x-\sin x). \]En dérivant de nouveau :
\[ \begin{aligned} f''(x) &= 2e^{2x}(2\cos x-\sin x) + e^{2x}(-2\sin x-\cos x)\\ &= e^{2x} \left( 4\cos x-2\sin x-2\sin x-\cos x \right)\\ &= e^{2x}(3\cos x-4\sin x). \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \boxed{ f''(x)=e^{2x}(3\cos x-4\sin x) }. \]Pour tous réels \(\alpha\) et \(\beta\), on a alors :
\[ \begin{aligned} &f(x)-\alpha f'(x)+\beta f''(x)\\ &= e^{2x}\cos x - \alpha e^{2x}(2\cos x-\sin x) + \beta e^{2x}(3\cos x-4\sin x)\\ &= e^{2x} \left[ (1-2\alpha+3\beta)\cos x + (\alpha-4\beta)\sin x \right]. \end{aligned} \]Comme \(e^{2x}\gt 0\) pour tout \(x\in\mathbb R\), l’égalité demandée est équivalente à :
\[ (1-2\alpha+3\beta)\cos x + (\alpha-4\beta)\sin x = 0 \]pour tout \(x\in\mathbb R\).
En prenant \(x=0\), on obtient :
\[ 1-2\alpha+3\beta=0. \]En prenant \(x=\dfrac{\pi}{2}\), on obtient :
\[ \alpha-4\beta=0. \]Il faut donc résoudre le système :
\[ \begin{cases} 1-2\alpha+3\beta=0,\\ \alpha-4\beta=0. \end{cases} \]La seconde équation donne :
\[ \alpha=4\beta. \]En remplaçant dans la première équation :
\[ 1-8\beta+3\beta=0. \]Donc :
\[ 1-5\beta=0. \]Ainsi :
\[ \beta=\frac15 \qquad\text{et}\qquad \alpha=\frac45. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
D’après la question précédente :
\[ f-\frac45f'+\frac15f''=0. \]Donc :
\[ f=\frac45f'-\frac15f''. \]Or :
\[ \left( \frac45f-\frac15f' \right)' = \frac45f'-\frac15f''. \]Par conséquent :
\[ \left( \frac45f-\frac15f' \right)' = f. \]Une primitive particulière de \(f\) est donc :
\[ F_0(x)=\frac45f(x)-\frac15f'(x). \]En remplaçant \(f\) et \(f'\) par leurs expressions :
\[ \begin{aligned} F_0(x) &= \frac45e^{2x}\cos x - \frac15e^{2x}(2\cos x-\sin x)\\ &= \frac{e^{2x}}5 \left( 4\cos x-2\cos x+\sin x \right)\\ &= \frac{e^{2x}}5 \left( 2\cos x+\sin x \right). \end{aligned} \]Vérification.
\[ \begin{aligned} F_0'(x) &= \frac{e^{2x}}5 \left[ 2(2\cos x+\sin x) + (-2\sin x+\cos x) \right]\\ &= \frac{e^{2x}}5 \left( 5\cos x \right)\\ &= e^{2x}\cos x\\ &= f(x). \end{aligned} \]Toutes les primitives de \(f\) sur \(\mathbb R\) sont donc les fonctions :
Méthodes à retenir
- Pour une fonction de la forme \(e^{ax}\cos(bx)\), les dérivées successives restent des combinaisons de \(e^{ax}\cos(bx)\) et de \(e^{ax}\sin(bx)\).
- Une identité vraie pour tout réel peut être étudiée en donnant à \(x\) des valeurs particulières adaptées.
- Une relation entre \(f\), \(f'\) et \(f''\) peut permettre de reconnaître directement une primitive de \(f\).
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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