Correction de l’exercice 21 — Fonctions exponentielles
Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques
Dérivées successives, relation entre \(f\), \(f'\) et \(f''\), puis recherche de primitives
Introduction
Dans cet exercice, la fonction étudiée est le produit d’une exponentielle et d’une fonction trigonométrique. La première question demande de calculer deux dérivées successives, puis de déterminer des coefficients réels qui rendent vraie une identité pour tout réel. La deuxième question donne un sens à cette relation : elle permet de retrouver une primitive sans utiliser de nouvelle technique d’intégration.
La difficulté essentielle n’est pas seulement de dériver correctement. Il faut aussi reconnaître une combinaison de sinus et de cosinus, exploiter judicieusement deux valeurs particulières de la variable, puis vérifier que les coefficients obtenus conviennent pour tout réel. Enfin, on utilisera la linéarité de la dérivation pour identifier une primitive. Chaque question est suivie de sa correction détaillée.
Repère de cours — Dérivées et primitives
Si \(u\) et \(v\) sont dérivables sur un intervalle \(I\), alors leur produit l’est également et :
\[ (uv)'=u'v+uv'. \]Pour une fonction dérivable \(u\), on utilise aussi :
\[ (e^u)'=u'e^u, \qquad (\cos x)'=-\sin x, \qquad (\sin x)'=\cos x. \]Conditions d’application. La fonction \(x\mapsto e^{2x}\) et les fonctions sinus et cosinus sont dérivables autant de fois que nécessaire sur \(\mathbb R\). On peut donc calculer \(f'\) puis \(f''\) en utilisant la règle du produit.
Pour les primitives. Une fonction \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) lorsque \(F\) est dérivable sur \(I\) et que \(F'=f\). La dérivée d’une combinaison linéaire se calcule terme à terme ; cette propriété sera décisive dans la deuxième question.
Exercice 21 — Dérivées successives et primitives
Énoncé. On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)=e^{2x}\cos x. \]1) Montrer qu’il existe deux réels \(\alpha\) et \(\beta\), à déterminer, tels que :
\[ (\forall x\in\mathbb R)\qquad f(x)-\alpha f'(x)+\beta f''(x)=0. \]2) En déduire les primitives de \(f\) sur \(\mathbb R\).
Question 1 — Détermination de \(\alpha\) et \(\beta\).
Montrer qu’il existe deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que :
\[ f-\alpha f'+\beta f''=0. \]Afficher la correction — Question 1
Que cherche-t-on ? Il faut déterminer deux constantes \(\alpha\) et \(\beta\), indépendantes de \(x\), pour lesquelles l’identité est vraie sur tout \(\mathbb R\). Pour cela, il faut d’abord connaître les expressions de \(f'\) et de \(f''\).
Choix de la méthode. Comme \(f\) est le produit de deux fonctions indéfiniment dérivables sur \(\mathbb R\), la règle de dérivation d’un produit peut être utilisée deux fois. On regroupera ensuite les termes comportant \(\cos x\) et ceux comportant \(\sin x\).
La fonction donnée est :
\[ f(x)=e^{2x}\cos x. \]La fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb R\).
1. Calcul de la dérivée première
En appliquant la formule de dérivation d’un produit :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= (e^{2x})'\cos x + e^{2x}(\cos x)'\\ &= 2e^{2x}\cos x - e^{2x}\sin x. \end{aligned} \]Le facteur commun \(e^{2x}\) simplifie l’expression de la dérivée. Donc :
\[ \boxed{ f'(x)=e^{2x}(2\cos x-\sin x) }. \]2. Calcul de la dérivée seconde
Nous dérivons à présent l’expression factorisée de \(f'\), en utilisant à nouveau la règle du produit :
\[ f'(x)=e^{2x}(2\cos x-\sin x). \] \[ \begin{aligned} f''(x) &= 2e^{2x}(2\cos x-\sin x) + e^{2x}(-2\sin x-\cos x)\\ &= e^{2x} \left( 4\cos x-2\sin x-2\sin x-\cos x \right)\\ &= e^{2x}(3\cos x-4\sin x). \end{aligned} \]Les deux dérivations font ainsi apparaître uniquement les mêmes fonctions trigonométriques \(\cos x\) et \(\sin x\), multipliées par \(e^{2x}\). Nous obtenons :
\[ \boxed{ f''(x)=e^{2x}(3\cos x-4\sin x) }. \]3. Détermination des deux coefficients
Il reste à traduire l’identité demandée au moyen des expressions précédentes. Pour tous réels \(\alpha\) et \(\beta\), on a alors :
\[ \begin{aligned} &f(x)-\alpha f'(x)+\beta f''(x)\\ &= e^{2x}\cos x - \alpha e^{2x}(2\cos x-\sin x) + \beta e^{2x}(3\cos x-4\sin x)\\ &= e^{2x} \left[ (1-2\alpha+3\beta)\cos x + (\alpha-4\beta)\sin x \right]. \end{aligned} \]Pourquoi factoriser ? L’exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb R\). On peut donc étudier séparément la combinaison trigonométrique entre crochets, sans changer l’ensemble des solutions de l’égalité.
Comme \(e^{2x}\gt 0\) pour tout \(x\in\mathbb R\), l’égalité demandée est équivalente à :
\[ (1-2\alpha+3\beta)\cos x + (\alpha-4\beta)\sin x =0 \]pour tout \(x\in\mathbb R\).
Astuce. Choisissons deux valeurs de \(x\) qui annulent successivement le sinus puis le cosinus. Elles permettent d’isoler les deux coefficients inconnus.
En prenant \(x=0\), on obtient :
\[ 1-2\alpha+3\beta=0. \]En prenant \(x=\dfrac{\pi}{2}\), on obtient :
\[ \alpha-4\beta=0. \]Il faut donc résoudre le système :
\[ \begin{cases} 1-2\alpha+3\beta=0,\\ \alpha-4\beta=0. \end{cases} \]La seconde équation donne :
\[ \alpha=4\beta. \]En remplaçant dans la première équation :
\[ 1-8\beta+3\beta=0. \]Donc :
\[ 1-5\beta=0. \]Ainsi :
\[ \beta=\frac15 \qquad\text{et}\qquad \alpha=\frac45. \]Vérification de l’identité. Les deux valeurs particulières ont permis de trouver les seuls coefficients possibles. Réciproquement, ces coefficients annulent les deux coefficients de \(\cos x\) et de \(\sin x\) dans la formule factorisée : l’identité est donc bien vraie pour tout réel \(x\), et non seulement pour les deux valeurs choisies.
Interprétation. Nous avons obtenu une relation valable sur \(\mathbb R\) entre la fonction et ses deux premières dérivées. Cette relation permettra de construire une primitive sans recommencer les calculs.
Question 2 — Détermination des primitives de \(f\).
En déduire les primitives de \(f\) sur \(\mathbb R\).
Afficher la correction — Question 2
Que demande la question ? On cherche toutes les fonctions dont la dérivée est \(f\). L’expression « en déduire » indique qu’il faut utiliser la relation obtenue dans la question 1 plutôt qu’introduire une autre technique de calcul.
Résultat du cours utilisé. Si une fonction est dérivable sur \(\mathbb R\) et si sa dérivée est égale à \(f\), elle est une primitive de \(f\). Ici, \(f\) et \(f'\) sont dérivables sur \(\mathbb R\), donc leur combinaison linéaire l’est également.
D’après la question précédente :
\[ f-\frac45f'+\frac15f''=0. \]En isolant \(f\), on reconnaît une combinaison de dérivées :
\[ f=\frac45f'-\frac15f''. \]Or :
\[ \left( \frac45f-\frac15f' \right)' = \frac45f'-\frac15f''. \]Par conséquent :
\[ \left( \frac45f-\frac15f' \right)' = f. \]La définition d’une primitive s’applique donc directement. Une primitive particulière de \(f\) est :
\[ F_0(x)=\frac45f(x)-\frac15f'(x). \]Pour donner une expression explicite, nous remplaçons maintenant \(f\) et \(f'\) par les formules calculées dans la question 1 :
\[ \begin{aligned} F_0(x) &= \frac45e^{2x}\cos x - \frac15e^{2x}(2\cos x-\sin x)\\ &= \frac{e^{2x}}5 \left( 4\cos x-2\cos x+\sin x \right)\\ &= \frac{e^{2x}}5 \left( 2\cos x+\sin x \right). \end{aligned} \]Vérification par dérivation
La vérification permet de confirmer que l’expression obtenue est bien une primitive sur tout \(\mathbb R\). La fonction est dérivable partout et :
\[ \begin{aligned} F_0'(x) &= \frac{e^{2x}}5 \left[ 2(2\cos x+\sin x) + (-2\sin x+\cos x) \right]\\ &= \frac{e^{2x}}5 \left( 5\cos x \right)\\ &= e^{2x}\cos x\\ &= f(x). \end{aligned} \]La dérivée de \(F_0\) est donc exactement \(f\). Comme l’intervalle \(\mathbb R\) est un intervalle et que \(f\) y est continue, toutes ses primitives diffèrent de \(F_0\) d’une constante réelle.
Ensemble des primitives sur \(\mathbb R\)
\[ \boxed{ F(x)= \frac{e^{2x}}5 \left( 2\cos x+\sin x \right)+C, \qquad C\in\mathbb R } \]Interprétation. L’identité de la question 1 fournit une primitive particulière ; l’ajout de la constante \(C\) donne toutes les primitives de la fonction sur \(\mathbb R\). La deuxième question exploite donc directement le raisonnement de la première.
Méthodes à retenir
Pour calculer des dérivées successives : conserver le facteur exponentiel commun rend les calculs plus lisibles et facilite le regroupement des termes trigonométriques. Il faut justifier la dérivabilité avant d'utiliser les formules du cours.
Pour établir une identité valable pour tout réel : l'utilisation de valeurs particulières bien choisies permet de déterminer les coefficients possibles. Elle doit être complétée par une vérification de l'identité générale.
Pour chercher une primitive : une relation entre \(f\), \(f'\) et \(f''\) peut révéler une dérivée déjà présente. Une fois une primitive particulière obtenue et vérifiée, toutes les primitives sur l'intervalle s'écrivent en ajoutant une constante.
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