Concours ENSA Maroc 2022 — Énoncé de mathématiques

Concours d’accès en 1^ère année des ENSA Maroc — 1^er août 2022 — Épreuve de mathématiques — Durée : 1 h 30 min.

Cette page propose l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Maroc 2022. L’épreuve comporte 20 questions sous forme de QCM.

Voir la correction ENSA Maroc 2022 Guide Concours ENSA Maroc

Remarque pédagogique : cet énoncé est transcrit à partir d’une version scannée du concours ENSA Maroc 2022. Les notations peu lisibles dans le scan sont signalées directement dans les questions concernées.

Signalement important : la question 9 contient une notation de racines peu nette dans la version scannée. La question 16 contient aussi une expression demandée peu lisible ; elle doit être traitée avec prudence.

Consignes

Calculatrices non autorisées.
Téléphones, smartwatches et tous types de documents non autorisés.
L’épreuve comporte 20 questions.
Chaque question propose quatre réponses : A, B, C et D.

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Sachant que \(11\times 11=121\), le produit

\[ 11111111\times11111111 \]

est égal à :

A) \(1234567654321\)
B) \(123456787654321\)
C) \(12345678987654321\)
D) \(1234568654321\)

Question 2

Le nombre de diviseurs positifs du nombre \(546\times840\) est :

A) \(180\)
B) \(181\)
C) \(182\)
D) \(183\)

Question 3

Soit \(f:\mathbb R\to\mathbb R\). La négation de la proposition « \(f\) est la fonction nulle » est :

A) \(\forall x\in\mathbb R,\ f(x)\gt0\)
B) \(\forall x\in\mathbb R,\ f(x)\ne0\)
C) \(\forall x\in\mathbb R,\ f(x)=0\)
D) \(\exists x\in\mathbb R,\ f(x)\ne0\)

Question 4

La solution de l’équation à variable réelle \(x\) :

\[ \ln(x^2-1)-\ln(2x-1)+\ln2=0 \]

est :

A) \(\dfrac{1+7\sqrt3}{2}\)
B) \(\dfrac{1+\sqrt3}{2}\)
C) \(\dfrac{1-\sqrt3}{2}\)
D) \(\dfrac{1+3\sqrt3}{2}\)

Question 5

La valeur maximale des termes

\[ u_k=C_{22}^{k}20^{22-k}21^k \]

dans le développement du nombre \((20+21)^{22}\) par la formule du binôme de Newton est atteinte pour \(k\) égal à :

A) \(8\)
B) \(9\)
C) \(10\)
D) \(11\)

Question 6

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{n^2}. \]

A) \(1\)
B) \(0\)
C) \(+\infty\)
D) \(e\)

Question 7

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty}\left(n-\sqrt{(n+5)(n+7)}\right). \]

A) \(0\)
B) \(-6\)
C) \(6\)
D) \(+\infty\)

Question 8

Soient \(a\) et \(b\) deux réels. La fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{\ln(1+x)-x}{x^2}, & x\gt0,\\[6pt] ax+b, & x\leq0, \end{cases} \]

est continue en \(0\) si :

A) \(a\in\mathbb R\) et \(b=2\)
B) \(a=0\) et \(b=1\)
C) \(a=-\dfrac13\) et \(b=\dfrac12\)
D) \(a\in\mathbb R\) et \(b=-\dfrac12\)

Question 9

La dérivée de la fonction :

\[ f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt[3]{(x+2)^2}\sqrt{(x+3)^3}} \]

est :

Remarque : dans la version scannée, la notation des racines dans cette question est peu nette. L’écriture ci-dessous conserve la lecture la plus proche du scan.

A) \(\dfrac{5x^2-x-12}{\sqrt{x-1}\sqrt[3]{(x+2)^5}\sqrt{(x+3)^5}}\)
B) \(\dfrac{3x^2+x-24}{\sqrt{x-1}\sqrt[3]{(x+2)^5}\sqrt{(x+3)^5}}\)
C) \(\dfrac{2x^2+x-24}{2\sqrt{x-1}\sqrt[3]{(x+2)^5}\sqrt{(x+3)^5}}\)
D) \(\dfrac{5x^2+x-24}{3\sqrt{x-1}\sqrt[3]{(x+2)^5}\sqrt{(x+3)^5}}\)

Question 10

Soit \(f:[0,+\infty[\to[0,+\infty[\) définie par :

\[ f(x)=xe^x. \]

L’équation de la tangente à la courbe de \(f^{-1}\) au point d’abscisse \(e\) est :

A) \(y=\dfrac{1}{2e}x+\dfrac12\)
B) \(y=\dfrac1e x+\dfrac12\)
C) \(y=\dfrac{1}{2e}x+1\)
D) \(y=\dfrac1e x-1\)

Question 11

Calculer :

\[ \int_0^1\frac{1-x^2}{1+x^2}\,dx. \]

A) \(\dfrac{\pi}{2}+1\)
B) \(\dfrac{\pi}{2}-1\)
C) \(-1+\dfrac{\pi}{4}\)
D) \(1-\dfrac{\pi}{4}\)

Question 12

Soit l’intégrale :

\[ I_n=\int_{-1}^{1}(x^2-1)^n\,dx. \]

La valeur de \(I_4\) est :

A) \(\dfrac{252}{315}\)
B) \(\dfrac{254}{315}\)
C) \(\dfrac{258}{315}\)
D) \(\dfrac{256}{315}\)

Question 13

La valeur de \(\cos\left(\dfrac{\pi}{16}\right)\) est :

A) \(\dfrac12\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt2}}\)
B) \(\dfrac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt2}}\)
C) \(\dfrac1{16}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}\)
D) \(\dfrac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}\)

Question 14

La forme algébrique du nombre complexe :

\[ \left(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)^{2023} \]

est :

A) \(\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}\)
B) \(-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}\)
C) \(\dfrac{\sqrt3}{2}+i\dfrac12\)
D) \(-\dfrac{\sqrt3}{2}+i\dfrac12\)

Question 15

Soit le nombre complexe :

\[ z=\sqrt3+i. \]

Alors \(z^5\) est égal à :

A) \(\overline z\)
B) \(-8\overline z\)
C) \(-16\overline z\)
D) \(16\overline z\)

Question 16

Soient \(z_1\) et \(z_2\) les solutions de l’équation suivante :

\[ 2z^2-2(m+1+i)z+m^2+(1+i)m+i=0 \]

où \(m\in\mathbb C^*\), \(z\in\mathbb C\), \(m\ne1\) et \(m\ne i\).

Attention : dans la version scannée, l’expression demandée est peu lisible. Elle semble être \(\operatorname{Im}(z_1)\times\operatorname{Im}(z_2)\). À vérifier avec une version officielle plus nette.

Alors :

\[ \operatorname{Im}(z_1)\times\operatorname{Im}(z_2)= \]

A) \(\dfrac{1-m^2}{2}\)
B) \(\dfrac{1+m^2}{2}\)
C) \(\dfrac{1-m^2}{4}\)
D) \(\dfrac{1+m^2}{4}\)

Question 17

La solution \(y(x)\) de l’équation différentielle suivante :

\[ y''+y'+\frac52y=0,\qquad y(0)=-4,\qquad y'(0)=6 \]

est :

A) \(e^{\frac{x}{2}}\left(-4\cos\left(\frac32x\right)-\frac83\sin\left(\frac32x\right)\right)\)
B) \(e^{\frac{x}{2}}\left(-4\cos\left(\frac32x\right)+\frac83\sin\left(\frac32x\right)\right)\)
C) \(e^{-\frac{x}{2}}\left(-4\cos\left(\frac32x\right)-\frac83\sin\left(\frac32x\right)\right)\)
D) \(e^{-\frac{x}{2}}\left(-4\cos\left(\frac32x\right)+\frac83\sin\left(\frac32x\right)\right)\)

Question 18

Dans un repère orthonormé, on considère le plan \(P\) d’équation cartésienne :

\[ 2x-y-2z+2=0 \]

et la sphère d’équation :

\[ x^2-6x+y^2+z^2+10z-2=0. \]

Une représentation paramétrique de la droite passant par le centre de la sphère et perpendiculaire au plan \(P\) est :

A) \[ \begin{cases} x=3+2t,\\ y=-t,\\ z=-5-2t, \end{cases} \quad t\in\mathbb R \] B) \[ \begin{cases} x=3-2t,\\ y=t,\\ z=-5-2t, \end{cases} \quad t\in\mathbb R \] C) \[ \begin{cases} x=3+2t,\\ y=-t,\\ z=5-2t, \end{cases} \quad t\in\mathbb R \] D) \[ \begin{cases} x=-3+2t,\\ y=-t,\\ z=-5-2t, \end{cases} \quad t\in\mathbb R \]

Question 19

La première année du cycle préparatoire d’une ENSA comporte \(300\) élèves ingénieurs. Ils sont inscrits aux clubs des activités de l’école selon la répartition suivante :

\(60\) au club Cyber Sécurité dont \(30\%\) sont des filles ;
\(90\) au club Sport dont \(60\%\) sont des filles ;
\(150\) au club Environnement dont \(72\%\) sont des filles.

Chaque élève-ingénieur(e) pratique une et une seule activité. On choisit au hasard un(e) élève ingénieur(e).

La probabilité que l’élève choisi(e) soit une fille est :

A) \(0,4\)
B) \(0,5\)
C) \(0,6\)
D) \(0,7\)

Question 20

Sachant que l’élève choisi(e) est un garçon, la probabilité qu’il soit inscrit au club Environnement est :

A) \(0,25\)
B) \(0,35\)
C) \(0,45\)
D) \(0,55\)

Conseil de travail

Avant de consulter la correction, il est conseillé de traiter l’énoncé seul, en temps limité, puis de comparer sa méthode avec la correction détaillée.

Important : les modalités, dates, conditions d’accès et consignes officielles peuvent changer d’une année à l’autre. L’élève doit toujours consulter l’annonce officielle de l’année concernée.

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