Concours ENSA Maroc 2022 — Énoncé de mathématiques
Concours d’accès en première année des ENSA Maroc
1er août 2022 — Épreuve de mathématiques — Durée : 1 h 30 min
Cette page présente l'énoncé de mathématiques du concours d'accès aux Écoles nationales des sciences appliquées (ENSA), session du 1er août 2022. Les vingt questions à choix multiples sollicitent des compétences variées : calcul numérique, arithmétique, logique, équations, suites, limites, continuité, dérivation, intégration, trigonométrie, nombres complexes, équations différentielles, géométrie dans l'espace et probabilités. Chaque question comporte quatre propositions, de A à D.
Pour vous entraîner efficacement, essayez de résoudre les questions dans les conditions de l'épreuve. Commencez par déterminer ce qui est demandé, identifiez les hypothèses et choisissez une propriété du cours avant d'effectuer les calculs. Certaines questions se prêtent à une démarche courte, à condition de reconnaître la bonne structure ; d'autres exigent davantage de vigilance sur les domaines de définition ou les paramètres. Le but est de progresser dans la rigueur, la rapidité et la vérification des résultats.
Présentation et consignes
L'énoncé comporte 20 QCM, avec quatre propositions A, B, C et D pour chaque question. Les consignes figurant dans la transcription interdisent les calculatrices, les téléphones, les montres connectées et les documents. Pour chaque question, il faut identifier la proposition correspondant au résultat recherché.
Précisions de lecture
Cet énoncé est reproduit d'après une version scannée. Les notations des questions 9 et 16 sont difficiles à distinguer dans le document disponible : elles sont présentées comme dans la transcription conservée, sans correction supposée. Ces deux questions doivent donc être abordées avec une attention particulière.
Comment travailler cette annale ?
Une première lecture permet de repérer les questions dont vous reconnaissez immédiatement les notions. Traitez-les en justifiant votre choix, puis revenez à celles qui demandent une recherche plus longue. Pour une expression algébrique, examinez les factorisations possibles ; pour une limite, commencez par reconnaître la nature des termes ; pour une intégrale, observez l'intégrande et les bornes ; pour un problème de probabilités, définissez correctement l'événement étudié.
Après votre première tentative, reprenez les questions qui ont posé problème. La compréhension d'une méthode réutilisable est plus importante que la mémorisation d'une lettre de réponse.
Questions 1 à 5 — Numération, arithmétique, logique et binôme
Les premières questions reposent sur l'observation d'écritures numériques, les propriétés de divisibilité et le raisonnement logique. Pour compter des diviseurs ou étudier un produit, l'écriture des entiers sous une forme appropriée simplifie souvent la démarche. Dans une équation logarithmique, les conditions d'existence doivent être examinées avant les transformations. Pour les termes d'un développement binomial, le rang d'un terme et la comparaison des termes voisins constituent des repères utiles.
Question 1
Sachant que \(11\times 11=121\), le produit
\[ 11111111\times11111111 \]est égal à :
Propositions :
B) \(123456787654321\)
C) \(12345678987654321\)
D) \(1234568654321\)
Question 2
Le nombre de diviseurs positifs du nombre \(546\times840\) est :
Propositions :
B) \(181\)
C) \(182\)
D) \(183\)
Question 3
Soit \(f:\mathbb R\to\mathbb R\). La négation de la proposition « \(f\) est la fonction nulle » est :
Propositions :
B) \(\forall x\in\mathbb R,\ f(x)\ne0\)
C) \(\forall x\in\mathbb R,\ f(x)=0\)
D) \(\exists x\in\mathbb R,\ f(x)\ne0\)
Question 4
La solution de l’équation à variable réelle \(x\) :
\[ \ln(x^2-1)-\ln(2x-1)+\ln2=0 \]est :
Propositions :
B) \(\dfrac{1+\sqrt3}{2}\)
C) \(\dfrac{1-\sqrt3}{2}\)
D) \(\dfrac{1+3\sqrt3}{2}\)
Question 5
La valeur maximale des termes
\[ u_k=C_{22}^{k}20^{22-k}21^k \]dans le développement du nombre \((20+21)^{22}\) par la formule du binôme de Newton est atteinte pour \(k\) égal à :
Propositions :
B) \(9\)
C) \(10\)
D) \(11\)
Questions 6 à 10 — Limites, continuité, dérivation et fonction réciproque
Les limites de suites ou de fonctions demandent de reconnaître les formes en jeu avant tout calcul. Une expression comportant une racine peut nécessiter une transformation algébrique ; une fonction définie par morceaux impose de comparer sa limite et sa valeur au point de raccordement. Lorsqu'une fonction réciproque intervient, il faut vérifier l'existence de cette réciproque et les conditions de dérivabilité correspondantes. Dans la question de dérivation comportant des racines, l'écriture exacte des exposants est particulièrement importante.
Question 6
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{n^2}. \]Propositions :
B) \(0\)
C) \(+\infty\)
D) \(e\)
Question 7
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty} \left(n-\sqrt{(n+5)(n+7)}\right). \]Propositions :
B) \(-6\)
C) \(6\)
D) \(+\infty\)
Question 8
Soient \(a\) et \(b\) deux réels. La fonction \(f\) définie par :
\[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{\ln(1+x)-x}{x^2}, & x\gt0,\\[6pt] ax+b, & x\leq0, \end{cases} \]est continue en \(0\) si :
Propositions :
B) \(a=0\) et \(b=1\)
C) \(a=-\dfrac13\) et \(b=\dfrac12\)
D) \(a\in\mathbb R\) et \(b=-\dfrac12\)
Question 9
La dérivée de la fonction :
\[ f(x)= \frac{\sqrt{x-1}} {\sqrt[3]{(x+2)^2}\sqrt{(x+3)^3}} \]est :
Propositions :
B) \(\dfrac{3x^2+x-24} {\sqrt{x-1}\sqrt[3]{(x+2)^5}\sqrt{(x+3)^5}}\)
C) \(\dfrac{2x^2+x-24} {2\sqrt{x-1}\sqrt[3]{(x+2)^5}\sqrt{(x+3)^5}}\)
D) \(\dfrac{5x^2+x-24} {3\sqrt{x-1}\sqrt[3]{(x+2)^5}\sqrt{(x+3)^5}}\)
Attention — Analyse de l’énoncé (question 9)
Une incohérence apparaît dans les propositions si l’on retient exactement la fonction écrite ci-dessus. Pour le vérifier, on utilise une méthode de dérivation adaptée aux produits et aux puissances.
Repère de cours. Pour \(x>1\), les facteurs de \(f(x)\) sont strictement positifs. On peut donc prendre le logarithme, puis dériver :
\[ \ln f(x)= \frac12\ln(x-1) -\frac23\ln(x+2) -\frac32\ln(x+3). \]En appliquant la formule de dérivation de \(\ln f\), on obtient :
\[ \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac1{2(x-1)} -\frac2{3(x+2)} -\frac3{2(x+3)}. \]Après réduction au même dénominateur, puis multiplication par \(f(x)\) :
\[ f'(x)= -\frac{5x^2+x-24} {3\sqrt{x-1}\sqrt[3]{(x+2)^5}\sqrt{(x+3)^5}}. \]Constat. Ce résultat ne figure pas exactement parmi les quatre réponses proposées. La proposition D possède la même expression, mais sans le signe « moins » placé devant la fraction.
Correction mathématique proposée. Si la fonction et ses exposants ont été correctement transcrits, il faudrait ajouter ce signe « moins » à la proposition D. La lecture des racines sur le scan étant incertaine, cette modification reste une proposition et non une correction officielle du concours.
À retenir. Quand aucune proposition ne convient, on reprend les conditions de dérivation et on vérifie les signes avant de conclure qu’un QCM comporte une anomalie.
Question 10
Soit \(f:[0,+\infty[\to[0,+\infty[\) définie par :
\[ f(x)=xe^x. \]L’équation de la tangente à la courbe de \(f^{-1}\) au point d’abscisse \(e\) est :
Propositions :
B) \(y=\dfrac1e x+\dfrac12\)
C) \(y=\dfrac{1}{2e}x+1\)
D) \(y=\dfrac1e x-1\)
Questions 11 à 13 — Intégrales et trigonométrie
Pour calculer une intégrale, commencez par observer l'intervalle d'intégration et la structure de l'intégrande. Une réécriture algébrique, une primitive usuelle ou une propriété de symétrie peuvent rendre le calcul plus direct. En trigonométrie, les identités du cours et les formules reliant des angles permettent de retrouver des expressions exactes sans approximation numérique.
Question 11
Calculer :
\[ \int_0^1\frac{1-x^2}{1+x^2}\,dx. \]Propositions :
B) \(\dfrac{\pi}{2}-1\)
C) \(-1+\dfrac{\pi}{4}\)
D) \(1-\dfrac{\pi}{4}\)
Question 12
Soit l’intégrale :
\[ I_n=\int_{-1}^{1}(x^2-1)^n\,dx. \]La valeur de \(I_4\) est :
Propositions :
B) \(\dfrac{254}{315}\)
C) \(\dfrac{258}{315}\)
D) \(\dfrac{256}{315}\)
Question 13
La valeur de \(\cos\left(\dfrac{\pi}{16}\right)\) est :
Propositions :
B) \(\dfrac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt2}}\)
C) \(\dfrac1{16}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}\)
D) \(\dfrac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}\)
Questions 14 à 16 — Nombres complexes
Les puissances élevées de nombres complexes invitent à reconnaître leur module et leur argument ou à utiliser une écriture algébrique adaptée. Pour une équation complexe du second degré, il faut soigneusement distinguer le paramètre, les solutions et les grandeurs demandées. Lorsque le paramètre n'est pas déclaré réel, cette distinction est essentielle : une formule portant sur des parties imaginaires doit être examinée avec prudence.
Question 14
La forme algébrique du nombre complexe :
\[ \left(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)^{2023} \]est :
Propositions :
B) \(-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}\)
C) \(\dfrac{\sqrt3}{2}+i\dfrac12\)
D) \(-\dfrac{\sqrt3}{2}+i\dfrac12\)
Question 15
Soit le nombre complexe :
\[ z=\sqrt3+i. \]Alors \(z^5\) est égal à :
Propositions :
B) \(-8\overline z\)
C) \(-16\overline z\)
D) \(16\overline z\)
Question 16
Soient \(z_1\) et \(z_2\) les solutions de l’équation suivante :
\[ 2z^2-2(m+1+i)z+m^2+(1+i)m+i=0 \]où \(m\in\mathbb C^*\), \(z\in\mathbb C\), \(m\ne1\) et \(m\ne i\).
Alors :
\[ \operatorname{Im}(z_1)\times\operatorname{Im}(z_2)= \]Propositions :
B) \(\dfrac{1+m^2}{2}\)
C) \(\dfrac{1-m^2}{4}\)
D) \(\dfrac{1+m^2}{4}\)
Attention — Analyse de l’énoncé (question 16)
Repère de cours. Pour tout nombre complexe \(z\), sa partie imaginaire \(\operatorname{Im}(z)\) est un nombre réel. Le produit \(\operatorname{Im}(z_1)\operatorname{Im}(z_2)\) est donc nécessairement réel.
Or l’énoncé autorise \(m\in\mathbb C^*\) et propose des expressions dépendant de \(m^2\). Vérifions ce que cela implique en choisissant une valeur autorisée du paramètre :
\[ m=1+i\quad\text{d’où}\quad m^2=2i. \]Cette valeur vérifie bien \(m\ne0\), \(m\ne1\) et \(m\ne i\). Les quatre propositions deviennent alors :
\[ \frac12-i,\qquad \frac12+i,\qquad \frac14-\frac i2,\qquad \frac14+\frac i2. \]Ces quatre nombres ne sont pas réels : aucune de ces expressions ne peut représenter le produit demandé pour ce choix de \(m\).
Vérification complémentaire. L’équation admet les deux racines suivantes :
\[ z_1=\frac{m+1+i+im}{2}, \qquad z_2=\frac{m+1+i-im}{2}. \]Avec \(m=1+i\), leurs parties imaginaires valent respectivement \(\frac32\) et \(\frac12\), et leur produit vaut \(\frac34\), ce qui confirme la contradiction.
Hypothèse de correction à discuter. Si \(m\) était supposé réel, on obtiendrait :
\[ \operatorname{Im}(z_1)\operatorname{Im}(z_2) =\frac{1-m^2}{4}. \]Cependant, l’énoncé précise \(m\in\mathbb C^*\) : sans un scan plus net, on ne peut ni imposer cette nouvelle condition ni affirmer qu’elle était voulue.
À retenir. Avant d’utiliser une formule, on vérifie sa nature : une quantité nécessairement réelle ne peut pas, pour une valeur autorisée du paramètre, être égale à une expression non réelle.
Questions 17 et 18 — Équations différentielles et géométrie de l’espace
La résolution d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants se conclut en utilisant les conditions initiales pour déterminer les constantes. Dans l'espace, une équation cartésienne de plan permet de reconnaître un vecteur normal ; une équation de sphère permet de retrouver son centre. Avant de choisir une représentation paramétrique, il faut vérifier à la fois un point de passage et une direction.
Question 17
La solution \(y(x)\) de l’équation différentielle suivante :
\[ y''+y'+\frac52y=0, \qquad y(0)=-4, \qquad y'(0)=6 \]est :
Propositions :
B) \(e^{\frac{x}{2}} \left(-4\cos\left(\frac32x\right) +\frac83\sin\left(\frac32x\right)\right)\)
C) \(e^{-\frac{x}{2}} \left(-4\cos\left(\frac32x\right) -\frac83\sin\left(\frac32x\right)\right)\)
D) \(e^{-\frac{x}{2}} \left(-4\cos\left(\frac32x\right) +\frac83\sin\left(\frac32x\right)\right)\)
Question 18
Dans un repère orthonormé, on considère le plan \(P\) d’équation cartésienne :
\[ 2x-y-2z+2=0 \]et la sphère d’équation :
\[ x^2-6x+y^2+z^2+10z-2=0. \]Une représentation paramétrique de la droite passant par le centre de la sphère et perpendiculaire au plan \(P\) est :
Propositions :
Questions 19 et 20 — Probabilités
Ces deux questions reposent sur une même situation et doivent être traitées dans cet ordre. La répartition des élèves dans les clubs donne les effectifs nécessaires à la première question. Pour la seconde, il convient de changer l'univers de référence en tenant compte de l'information « sachant que ». Évitez de confondre une probabilité conditionnelle avec une probabilité portant sur l'ensemble des élèves.
Question 19
La première année du cycle préparatoire d’une ENSA comporte \(300\) élèves ingénieurs. Ils sont inscrits aux clubs des activités de l’école selon la répartition suivante :
- \(60\) au club Cyber Sécurité dont \(30\%\) sont des filles ;
- \(90\) au club Sport dont \(60\%\) sont des filles ;
- \(150\) au club Environnement dont \(72\%\) sont des filles.
Chaque élève-ingénieur(e) pratique une et une seule activité. On choisit au hasard un(e) élève ingénieur(e).
La probabilité que l’élève choisi(e) soit une fille est :
Propositions :
B) \(0,5\)
C) \(0,6\)
D) \(0,7\)
Question 20
Sachant que l’élève choisi(e) est un garçon, la probabilité qu’il soit inscrit au club Environnement est :
Propositions :
B) \(0,35\)
C) \(0,45\)
D) \(0,55\)
Après avoir terminé l'épreuve
Pour chaque question restée sans réponse, retrouvez la propriété que vous n'aviez pas identifiée ou la condition qui a posé difficulté. Distinguez une erreur de lecture, une erreur de calcul et un choix de méthode peu efficace. Vous pourrez ainsi construire une révision ciblée plutôt qu'une simple liste de réponses.
Poursuivre votre préparation ENSA
La diversité des vingt questions aide à travailler la mobilisation rapide des méthodes du lycée. La rigueur reste essentielle : il faut respecter les hypothèses, vérifier les calculs et interpréter correctement la grandeur recherchée. En reprenant l'énoncé quelques jours plus tard, vous pourrez mesurer vos progrès dans la reconnaissance des notions et la gestion du temps.
Parcours Maths Maroc — PMM
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