Correction des exercices 22 et 23
Fonctions puissances — Simplification des expressions
2e Bac Sciences Mathématiques
Présentation :
Cette page propose la correction détaillée des exercices 22 et 23 du manuel Al Moufid. Les calculs portent sur les règles des puissances, les exposants réels, les racines et les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.
Cette page propose la correction détaillée des exercices 22 et 23 du manuel Al Moufid. Les calculs portent sur les règles des puissances, les exposants réels, les racines et les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.
Exercice 22 Simplification d’expressions avec des puissances
Énoncé
\(a\) et \(b\) étant deux réels strictement positifs et différents de \(1\), simplifier les expressions suivantes :
\[ A= \frac{ \left(\frac{a^2}{b^2}\right)^{x-1{,}5} \times \left(b^3\right)^{x-\frac13} \times \left(a^{-1}\right)^{2x} }{ b^{-2x} \times \left(a^3\right)^{-x} \times (ab)^{3x} }. \] \[ B= \frac{ \left(4a^{-3}\right)^{-\sqrt2} }{ \left(\sqrt[3]{b^{-2}}\right)^{-\frac32} } \times \frac{ \sqrt[3]{27a^{-\sqrt2}} \times \sqrt{b^2} }{ 2^{-2\sqrt2}\times a^4 }. \] \[ C= \frac{ a\times a^{\frac{2}{1+\sqrt2}} + a^{2\sqrt2+1} }{ a^{2\sqrt2} + \sqrt[3]{a^{\frac{6}{1+\sqrt2}}} }. \]
1
Simplifier l’expression \(A\)
\[
A=
\frac{
\left(\frac{a^2}{b^2}\right)^{x-1{,}5}
\left(b^3\right)^{x-\frac13}
\left(a^{-1}\right)^{2x}
}{
b^{-2x}
\left(a^3\right)^{-x}
(ab)^{3x}
}.
\]
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Correction détaillée
On commence par écrire :
\[ 1{,}5=\frac32. \]Ensuite :
\[ \left(\frac{a^2}{b^2}\right)^{x-\frac32} = a^{2x-3}b^{-2x+3}. \]De plus :
\[ \left(b^3\right)^{x-\frac13} = b^{3x-1} \]et :
\[ \left(a^{-1}\right)^{2x} = a^{-2x}. \]Le numérateur devient donc :
\[ \begin{aligned} &a^{2x-3}b^{-2x+3} \times b^{3x-1} \times a^{-2x}\\ &= a^{2x-3-2x} b^{-2x+3+3x-1}\\ &= a^{-3}b^{x+2}. \end{aligned} \]Pour le dénominateur :
\[ \left(a^3\right)^{-x}=a^{-3x} \]et :
\[ (ab)^{3x}=a^{3x}b^{3x}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} b^{-2x} \left(a^3\right)^{-x} (ab)^{3x} &= b^{-2x}a^{-3x}a^{3x}b^{3x}\\ &= b^x. \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ A= \frac{a^{-3}b^{x+2}}{b^x} = a^{-3}b^2. \]
\[
\boxed{
A=\frac{b^2}{a^3}
}
\]
2
Simplifier l’expression \(B\)
\[
B=
\frac{
\left(4a^{-3}\right)^{-\sqrt2}
}{
\left(\sqrt[3]{b^{-2}}\right)^{-\frac32}
}
\times
\frac{
\sqrt[3]{27a^{-\sqrt2}}
\sqrt{b^2}
}{
2^{-2\sqrt2}a^4
}.
\]
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Correction détaillée
Comme \(a>0\) et \(b>0\), toutes les règles de calcul sur les puissances sont applicables.
D’abord :
\[ \begin{aligned} \left(4a^{-3}\right)^{-\sqrt2} &= 4^{-\sqrt2} a^{3\sqrt2}\\ &= 2^{-2\sqrt2} a^{3\sqrt2}. \end{aligned} \]Ensuite :
\[ \sqrt[3]{b^{-2}} = b^{-\frac23}. \]Donc :
\[ \left(\sqrt[3]{b^{-2}}\right)^{-\frac32} = \left(b^{-\frac23}\right)^{-\frac32} = b. \]Le premier quotient devient alors :
\[ \frac{ 2^{-2\sqrt2}a^{3\sqrt2} }{b}. \]D’autre part :
\[ \begin{aligned} \sqrt[3]{27a^{-\sqrt2}} &= 27^{\frac13} a^{-\frac{\sqrt2}{3}}\\ &= 3a^{-\frac{\sqrt2}{3}}. \end{aligned} \]Comme \(b>0\), on a :
\[ \sqrt{b^2}=b. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} B &= \frac{ 2^{-2\sqrt2}a^{3\sqrt2} }{b} \times \frac{ 3a^{-\frac{\sqrt2}{3}}b }{ 2^{-2\sqrt2}a^4 }\\ &= 3a^{ 3\sqrt2-\frac{\sqrt2}{3}-4 }. \end{aligned} \]Or :
\[ 3\sqrt2-\frac{\sqrt2}{3} = \frac{8\sqrt2}{3}. \]
\[
\boxed{
B=
3a^{\frac{8\sqrt2}{3}-4}
}
\]
3
Simplifier l’expression \(C\)
\[
C=
\frac{
a\,a^{\frac{2}{1+\sqrt2}}
+
a^{2\sqrt2+1}
}{
a^{2\sqrt2}
+
\sqrt[3]{a^{\frac{6}{1+\sqrt2}}}
}.
\]
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Correction détaillée
Commençons par rationaliser :
\[ \begin{aligned} \frac{2}{1+\sqrt2} &= \frac{2(1-\sqrt2)}{1-2}\\ &= 2(\sqrt2-1)\\ &= 2\sqrt2-2. \end{aligned} \]Le premier terme du numérateur devient :
\[ a\times a^{\frac{2}{1+\sqrt2}} = a^{1+2\sqrt2-2} = a^{2\sqrt2-1}. \]Ainsi, le numérateur est :
\[ \begin{aligned} a^{2\sqrt2-1} + a^{2\sqrt2+1} &= a^{2\sqrt2-1} \left(1+a^2\right). \end{aligned} \]Pour le radical cubique :
\[ \sqrt[3]{a^{\frac{6}{1+\sqrt2}}} = a^{\frac{2}{1+\sqrt2}} = a^{2\sqrt2-2}. \]Le dénominateur devient donc :
\[ \begin{aligned} a^{2\sqrt2} + a^{2\sqrt2-2} &= a^{2\sqrt2-2} \left(a^2+1\right). \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} C &= \frac{ a^{2\sqrt2-1}(1+a^2) }{ a^{2\sqrt2-2}(1+a^2) }\\ &= a^{ (2\sqrt2-1)-(2\sqrt2-2) }\\ &= a. \end{aligned} \]
\[
\boxed{C=a}
\]
Exercice 23 Écriture sous la forme d’une puissance de \(e\)
Énoncé
Écrire sous la forme d’une puissance de \(e\) :
\[
D=
\left(
e^{12}\cdot e^{-5+4\sqrt3}
\right)^{7-4\sqrt3}
\]
et
\[
E=
\left(
\frac{e^{\sqrt{290}}}{e^{17}}
\right)^{\sqrt{290}+17}.
\]
1
Écrire \(D\) sous la forme d’une puissance de \(e\)
\[
D=
\left(
e^{12}\cdot e^{-5+4\sqrt3}
\right)^{7-4\sqrt3}.
\]
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Correction détaillée
On utilise d’abord la propriété :
\[ e^u e^v=e^{u+v}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} e^{12}\cdot e^{-5+4\sqrt3} &= e^{12-5+4\sqrt3}\\ &= e^{7+4\sqrt3}. \end{aligned} \]Donc :
\[ D= \left( e^{7+4\sqrt3} \right)^{7-4\sqrt3}. \]Or :
\[ \left(e^u\right)^v=e^{uv}. \]Par conséquent :
\[ D= e^{ (7+4\sqrt3)(7-4\sqrt3) }. \]On reconnaît une différence de deux carrés :
\[ \begin{aligned} (7+4\sqrt3)(7-4\sqrt3) &= 7^2-(4\sqrt3)^2\\ &= 49-48\\ &= 1. \end{aligned} \]
\[
\boxed{D=e}
\]
2
Écrire \(E\) sous la forme d’une puissance de \(e\)
\[
E=
\left(
\frac{e^{\sqrt{290}}}{e^{17}}
\right)^{\sqrt{290}+17}.
\]
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Correction détaillée
On utilise la propriété :
\[ \frac{e^u}{e^v}=e^{u-v}. \]Ainsi :
\[ \frac{e^{\sqrt{290}}}{e^{17}} = e^{\sqrt{290}-17}. \]Donc :
\[ E= \left( e^{\sqrt{290}-17} \right)^{\sqrt{290}+17}. \]Par conséquent :
\[ E= e^{ (\sqrt{290}-17)(\sqrt{290}+17) }. \]On reconnaît encore une différence de deux carrés :
\[ \begin{aligned} (\sqrt{290}-17)(\sqrt{290}+17) &= 290-17^2\\ &= 290-289\\ &= 1. \end{aligned} \]
\[
\boxed{E=e}
\]
Méthodes essentielles :
transformer les quotients, produits et racines en puissances,
additionner ou soustraire les exposants de même base,
factoriser les puissances communes et utiliser
les identités remarquables.
Méthodes à retenir
- Pour \(a>0\), on a \((a^u)^v=a^{uv}\).
- Pour des bases positives, \(a^u a^v=a^{u+v}\) et \(\dfrac{a^u}{a^v}=a^{u-v}\).
- Une racine peut être écrite sous la forme d’une puissance : \(\sqrt[n]{a^u}=a^{u/n}\).
- La rationalisation des exposants contenant \(1+\sqrt2\) simplifie souvent les calculs.
- Les produits de la forme \((p+q)(p-q)\) se simplifient par \(p^2-q^2\).
Préparé par :
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
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