Correction des exercices 22 et 23 — Fonctions puissances
Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques
Simplification de puissances, radicaux et expressions exponentielles
Introduction
Les puissances de base strictement positive obéissent à des règles de calcul qui permettent de simplifier des expressions apparemment complexes. Avant toute manipulation, il faut cependant contrôler les conditions sur les bases, distinguer les produits des sommes et organiser les exposants. Les exercices 22 et 23 du manuel Al Moufid mettent précisément ces réflexes en pratique : le premier associe produits, quotients, racines et factorisations ; le second demande de réécrire des expressions sous la forme d’une unique puissance de \(e\).
Nous commencerons par repérer les propriétés du cours utiles à chaque question, puis nous expliquerons les transformations conduisant à une expression plus simple. Il ne s’agit pas de multiplier les calculs, mais de choisir le bon ordre des opérations : ramener les radicaux à des puissances, regrouper les bases communes, factoriser si nécessaire et vérifier les conditions des simplifications. Chaque question est immédiatement suivie de sa correction repliable.
Repère de cours — Puissances de base strictement positive
Pour \(a>0\), \(b>0\) et des exposants réels \(u\), \(v\), les propriétés algébriques donnent :
\[ a^u\,a^v=a^{u+v},\qquad \frac{a^u}{a^v}=a^{u-v},\qquad (a^u)^v=a^{uv}. \]Pour un entier naturel non nul \(n\), une racine d’une quantité positive se ramène à une puissance :
\[ \sqrt[n]{a^u}=a^{\frac{u}{n}}, \qquad (ab)^u=a^u b^u. \]Conditions d’application. Les bases \(a\) et \(b\) des expressions de l’exercice 22 sont strictement positives, donc non nulles. Les puissances réelles et les quotients utilisés sont définis. La condition \(a\ne1\), \(b\ne1\) figure également dans l’énoncé ; elle n’est pas nécessaire pour toutes les simplifications, mais sera respectée.
Pour l’exercice 23. On utilise les propriétés de l’exponentielle \(e^u e^v=e^{u+v}\), \(e^u/e^v=e^{u-v}\) et \((e^u)^v=e^{uv}\). Une simplification de produit d’exposants peut ensuite faire apparaître \((p+q)(p-q)=p^2-q^2\).
Exercice 22 — Simplification des expressions
\(a\) et \(b\) étant deux réels strictement positifs et différents de \(1\), simplifier les expressions suivantes :
\[ A= \frac{ \left(\frac{a^2}{b^2}\right)^{x-1{,}5} \times \left(b^3\right)^{x-\frac13} \times \left(a^{-1}\right)^{2x} }{ b^{-2x} \times \left(a^3\right)^{-x} \times (ab)^{3x} }. \] \[ B= \frac{ \left(4a^{-3}\right)^{-\sqrt2} }{ \left(\sqrt[3]{b^{-2}}\right)^{-\frac32} } \times \frac{ \sqrt[3]{27a^{-\sqrt2}} \times \sqrt{b^2} }{ 2^{-2\sqrt2}\times a^4 }. \] \[ C= \frac{ a\times a^{\frac{2}{1+\sqrt2}} + a^{2\sqrt2+1} }{ a^{2\sqrt2} + \sqrt[3]{a^{\frac{6}{1+\sqrt2}}} }. \]Question 1 — Simplification de A.
\[ A= \frac{ \left(\frac{a^2}{b^2}\right)^{x-1{,}5} \left(b^3\right)^{x-\frac13} \left(a^{-1}\right)^{2x} }{ b^{-2x} \left(a^3\right)^{-x} (ab)^{3x} }. \]Afficher la correction — Exercice 22 / question 01
Que demande-t-on ? Réduire un quotient de produits de puissances à une expression simple. Les bases \(a\) et \(b\) étant strictement positives, les puissances d’exposants réels sont définies ; de plus, le dénominateur ne s’annule pas. Les règles de calcul peuvent donc être appliquées sur toute l’expression.
Stratégie. Avant de simplifier le quotient, nous allons exprimer chaque facteur à l’aide des seules bases \(a\) et \(b\). Ensuite, il suffira d’additionner les exposants de même base dans le numérateur et dans le dénominateur. Cette organisation évite de développer inutilement des produits.
On commence par écrire :
\[ 1{,}5=\frac32. \]Ensuite :
\[ \left(\frac{a^2}{b^2}\right)^{x-\frac32} = a^{2x-3}b^{-2x+3}. \]De plus :
Pourquoi séparer numérateur et dénominateur ? Les puissances d’une même base se regroupent aisément à l’intérieur de chacun de ces deux termes. Une fois chacun réduit à un monôme, leur quotient se simplifie avec la règle \(a^u/a^v=a^{u-v}\).
\[ \left(b^3\right)^{x-\frac13} = b^{3x-1} \]et :
\[ \left(a^{-1}\right)^{2x} = a^{-2x}. \]Le numérateur devient donc :
\[ \begin{aligned} &a^{2x-3}b^{-2x+3} \times b^{3x-1} \times a^{-2x}\\ &= a^{2x-3-2x} b^{-2x+3+3x-1}\\ &= a^{-3}b^{x+2}. \end{aligned} \]Pour le dénominateur :
\[ \left(a^3\right)^{-x}=a^{-3x} \]et :
\[ (ab)^{3x}=a^{3x}b^{3x}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} b^{-2x} \left(a^3\right)^{-x} (ab)^{3x} &= b^{-2x}a^{-3x}a^{3x}b^{3x}\\ &= b^x. \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ A= \frac{a^{-3}b^{x+2}}{b^x} = a^{-3}b^2. \]Interprétation. Bien que l’expression initiale dépende de \(x\) dans de nombreux exposants, ceux-ci se compensent. L’expression simplifiée est donc indépendante de \(x\) : seules subsistent les bases positives \(a\) et \(b\).
Question 2 — Simplification de B.
\[ B= \frac{ \left(4a^{-3}\right)^{-\sqrt2} }{ \left(\sqrt[3]{b^{-2}}\right)^{-\frac32} } \times \frac{ \sqrt[3]{27a^{-\sqrt2}} \sqrt{b^2} }{ 2^{-2\sqrt2}a^4 }. \]Afficher la correction — Exercice 22 / question 02
Notion à reconnaître. Cette expression combine des puissances d’exposants irrationnels avec des racines carrées et cubiques. Le cours permet de ramener les radicaux à des puissances : pour une base positive, \(\sqrt[n]{a^u}=a^{u/n}\). La positivité de \(a\) et de \(b\) justifie aussi les transformations des quotients.
Méthode. Nous simplifions successivement chaque facteur, en écrivant \(4=2^2\), \(27=3^3\), puis en appliquant les règles sur les exposants. Il faudra garder une attention particulière au signe de l’exposant dans le radical cubique et à la valeur de \(\sqrt{b^2}\).
Comme \(a>0\) et \(b>0\), toutes les règles de calcul sur les puissances sont applicables.
D’abord :
\[ \begin{aligned} \left(4a^{-3}\right)^{-\sqrt2} &= 4^{-\sqrt2} a^{3\sqrt2}\\ &= 2^{-2\sqrt2} a^{3\sqrt2}. \end{aligned} \]Ensuite :
Repère. Un exposant négatif inverse la puissance. Ainsi, le facteur contenant \(b\) au dénominateur se simplifie après l’utilisation de la règle « puissance d’une puissance » ; cette étape se fera avant de regrouper tous les facteurs.
\[ \sqrt[3]{b^{-2}} = b^{-\frac23}. \]Donc :
\[ \left(\sqrt[3]{b^{-2}}\right)^{-\frac32} = \left(b^{-\frac23}\right)^{-\frac32} = b. \]Le premier quotient devient alors :
\[ \frac{ 2^{-2\sqrt2}a^{3\sqrt2} }{b}. \]D’autre part :
\[ \begin{aligned} \sqrt[3]{27a^{-\sqrt2}} &= 27^{\frac13} a^{-\frac{\sqrt2}{3}}\\ &= 3a^{-\frac{\sqrt2}{3}}. \end{aligned} \]Comme \(b>0\), on a :
\[ \sqrt{b^2}=b. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} B &= \frac{ 2^{-2\sqrt2}a^{3\sqrt2} }{b} \times \frac{ 3a^{-\frac{\sqrt2}{3}}b }{ 2^{-2\sqrt2}a^4 }\\ &= 3a^{ 3\sqrt2-\frac{\sqrt2}{3}-4 }. \end{aligned} \]Or :
\[ 3\sqrt2-\frac{\sqrt2}{3} = \frac{8\sqrt2}{3}. \]Vérification et conclusion. Les facteurs \(b\) et \(2^{-2\sqrt2}\) se compensent ; c’est pourquoi le résultat final ne dépend que de \(a\). On a conservé la constante \(3\), qui provient de la racine cubique de \(27\).
Question 3 — Simplification de C.
\[ C= \frac{ a\,a^{\frac{2}{1+\sqrt2}} + a^{2\sqrt2+1} }{ a^{2\sqrt2} + \sqrt[3]{a^{\frac{6}{1+\sqrt2}}} }. \]Afficher la correction — Exercice 22 / question 03
Analyse. Contrairement aux deux premières questions, le numérateur et le dénominateur sont des sommes de puissances : on ne peut pas simplifier directement leurs termes un à un. Le résultat du cours sur le produit de puissances sera utile après une transformation des exposants.
Astuce. Rationaliser \(\frac{2}{1+\sqrt2}\) pour le réécrire sous la forme \(2\sqrt2-2\). Cette écriture fait apparaître, au numérateur comme au dénominateur, une puissance commune et le même facteur \(1+a^2\). Puisque \(a>0\), ce facteur est strictement positif et peut être simplifié.
Commençons par rationaliser :
\[ \begin{aligned} \frac{2}{1+\sqrt2} &= \frac{2(1-\sqrt2)}{1-2}\\ &= 2(\sqrt2-1)\\ &= 2\sqrt2-2. \end{aligned} \]Le premier terme du numérateur devient :
\[ a\times a^{\frac{2}{1+\sqrt2}} = a^{1+2\sqrt2-2} = a^{2\sqrt2-1}. \]Ainsi, le numérateur est :
Pourquoi factoriser ? La factorisation transforme deux sommes en produits. Elle permet de faire apparaître le facteur commun \(1+a^2\), qu’on pourra annuler sans risque car il est strictement positif.
\[ \begin{aligned} a^{2\sqrt2-1} + a^{2\sqrt2+1} &= a^{2\sqrt2-1} \left(1+a^2\right). \end{aligned} \]Pour le radical cubique :
\[ \sqrt[3]{a^{\frac{6}{1+\sqrt2}}} = a^{\frac{2}{1+\sqrt2}} = a^{2\sqrt2-2}. \]Le dénominateur devient donc :
\[ \begin{aligned} a^{2\sqrt2} + a^{2\sqrt2-2} &= a^{2\sqrt2-2} \left(a^2+1\right). \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} C &= \frac{ a^{2\sqrt2-1}(1+a^2) }{ a^{2\sqrt2-2}(1+a^2) }\\ &= a^{ (2\sqrt2-1)-(2\sqrt2-2) }\\ &= a. \end{aligned} \]Interprétation. La difficulté apparente venait de la manière d’écrire les exposants, non de la complexité du résultat. Le quotient est égal à \(a\), pour toutes les valeurs de \(a>0\) autorisées par l’énoncé.
Exercice 23 — Écriture sous forme d’une puissance de \(e\)
Écrire sous la forme d’une puissance de \(e\) :
\[ D= \left( e^{12}\cdot e^{-5+4\sqrt3} \right)^{7-4\sqrt3} \]et
\[ E= \left( \frac{e^{\sqrt{290}}}{e^{17}} \right)^{\sqrt{290}+17}. \]Question 1 — Expression D.
\[ D= \left( e^{12}\cdot e^{-5+4\sqrt3} \right)^{7-4\sqrt3}. \]Afficher la correction — Exercice 23 / question 01
Que demande la question ? Écrire l’expression comme une seule puissance de \(e\). La fonction exponentielle est strictement positive ; nous pouvons donc appliquer les propriétés du produit de deux exponentielles et de la puissance d’une puissance pour n’importe quels exposants réels.
Stratégie. Nous commençons par additionner les deux exposants à l’intérieur des parenthèses. Le nouvel exposant sera ensuite multiplié par \(7-4\sqrt3\). L’identité remarquable \((p+q)(p-q)=p^2-q^2\) terminera la simplification.
On utilise d’abord la propriété :
\[ e^u e^v=e^{u+v}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} e^{12}\cdot e^{-5+4\sqrt3} &= e^{12-5+4\sqrt3}\\ &= e^{7+4\sqrt3}. \end{aligned} \]Donc :
Point de vigilance. Il ne s’agit pas de distribuer une puissance sur une somme : on utilise d’abord la multiplication de deux exponentielles de même base. C’est seulement après cette étape qu’on multiplie les exposants.
\[ D= \left( e^{7+4\sqrt3} \right)^{7-4\sqrt3}. \]Or :
\[ \left(e^u\right)^v=e^{uv}. \]Par conséquent :
\[ D= e^{ (7+4\sqrt3)(7-4\sqrt3) }. \]On reconnaît une différence de deux carrés :
\[ \begin{aligned} (7+4\sqrt3)(7-4\sqrt3) &= 7^2-(4\sqrt3)^2\\ &= 49-48\\ &= 1. \end{aligned} \]Conclusion. L’exposant simplifié est égal à \(1\) ; la puissance cherchée se réduit donc à \(e^1=e\).
Question 2 — Expression E.
\[ E= \left( \frac{e^{\sqrt{290}}}{e^{17}} \right)^{\sqrt{290}+17}. \]Afficher la correction — Exercice 23 / question 02
Notion mobilisée. Cette fois, les exponentielles sont dans un quotient. La propriété \(e^u/e^v=e^{u-v}\) s’applique car \(e^v\) ne s’annule jamais. La puissance extérieure pourra ensuite être incorporée à l’exposant.
Méthode. Après avoir remplacé le quotient par une seule exponentielle, nous obtiendrons un produit de deux exposants conjugués. C’est une identité remarquable, et non une approximation de \(\sqrt{290}\), qui rend le calcul exact.
On utilise la propriété :
\[ \frac{e^u}{e^v}=e^{u-v}. \]Ainsi :
\[ \frac{e^{\sqrt{290}}}{e^{17}} = e^{\sqrt{290}-17}. \]Donc :
Pourquoi ne pas calculer \(\sqrt{290}\) ? La différence de deux carrés suffit : elle transforme directement le produit des exposants en une différence d’entiers.
\[ E= \left( e^{\sqrt{290}-17} \right)^{\sqrt{290}+17}. \]Par conséquent :
\[ E= e^{ (\sqrt{290}-17)(\sqrt{290}+17) }. \]On reconnaît encore une différence de deux carrés :
\[ \begin{aligned} (\sqrt{290}-17)(\sqrt{290}+17) &= 290-17^2\\ &= 290-289\\ &= 1. \end{aligned} \]Conclusion. La forme simplifiée est de nouveau \(e^1\). Les deux questions de cet exercice illustrent ainsi la même identité remarquable, utilisée après deux propriétés différentes de l’exponentielle.
Méthodes à retenir
Pour simplifier une expression de puissances, la démarche la plus sûre consiste à commencer par identifier les bases positives et à examiner la structure de l’expression : produit, quotient, puissance d’une puissance ou somme. Dans les produits et les quotients, il est utile d’écrire tous les facteurs avec des bases communes avant de réunir leurs exposants. Les radicaux doivent être traduits en puissances sans perdre les conditions de signe.
Lorsque des puissances apparaissent dans des sommes, la règle des exposants ne s’applique pas directement aux termes additionnés. L’exercice 22, question 3, montre qu’une rationalisation d’exposant et une factorisation peuvent alors transformer l’expression en quotient de produits et rendre la simplification possible.
Enfin, pour les expressions à base \(e\), on utilise les propriétés algébriques de l’exponentielle avant de simplifier les exposants. Dans l’exercice 23, les produits de deux quantités conjuguées permettent d’obtenir des résultats exacts, sans calculer de valeurs approchées des racines carrées.
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