Correction Concours ENSA Maroc 2021

Correction Concours ENSA Maroc 2021 — Mathématiques

Concours d’accès en 1^ère année des ENSA Maroc — Session juillet 2021 — Épreuve de mathématiques.

Concours d’accès en 1^ère année des ENSA Maroc
Session : juillet 2021
Épreuve : Mathématiques
Durée : 1 h 30 min

Cette correction reprend les 20 questions du concours ENSA Maroc 2021 avec un rappel de chaque question, une justification claire, l’idée utile à retenir et la réponse finale.

Tableau des réponses finales

\[ \begin{array}{c|cccccccccccccccccccc} \text{Question} & 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\ \hline \text{Réponse} & D&B&\text{Remarque}&A&C&B&C&C&A&D&B&D&A&A&B&B&A&D&C&D \end{array} \]

Correction détaillée question par question

Question 1

Rappel de la question : une condition nécessaire, pas forcément suffisante, pour réussir le concours de l’ENSA est demandée.

Rappel utile
Une condition nécessaire est obligatoire pour obtenir le résultat, mais elle ne garantit pas ce résultat.

Réponse

Pour réussir un concours, il faut nécessairement l’avoir passé.
Mais avoir passé le concours ne suffit pas pour réussir. C’est donc bien une condition nécessaire, mais pas forcément suffisante.

Idée utile : une condition nécessaire est une condition obligatoire, mais elle ne garantit pas forcément le résultat.

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Question 2

Rappel de la question : le 17 juillet 2021 est un samedi. On cherche le jour de la semaine correspondant au 29 février 2024.

Rappel utile
Pour les jours de la semaine, on calcule le nombre de jours écoulés modulo \(7\).

Réponse

On calcule le décalage entre le 17 juillet 2021 et le 29 février 2024.

Du 17 juillet 2021 au 17 juillet 2022, il y a :

\[ 365\ \text{jours}. \]

Du 17 juillet 2022 au 17 juillet 2023, il y a encore :

\[ 365\ \text{jours}. \]

Du 17 juillet 2023 au 29 février 2024, on compte :

\[ 31-17+31+30+31+30+31+31+29=227\ \text{jours}. \]

Le nombre total de jours écoulés est donc :

\[ 365+365+227=957. \]

On réduit modulo \(7\) :

\[ 957=7\times136+5. \]

Le décalage est donc de \(5\) jours.

Comme le 17 juillet 2021 est un samedi :

\[ \text{samedi}+5=\text{jeudi}. \]

Donc le 29 février 2024 est un jeudi.

Idée utile : pour les jours de la semaine, on calcule toujours le nombre de jours modulo \(7\).

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 3

Rappel de la question : trouver le nombre de diviseurs de : \[ N=7^{21}\times16^{250}. \]

Rappel utile
Si \(N=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}\), alors le nombre de diviseurs positifs de \(N\) est \((a_1+1)\cdots(a_k+1)\).

Réponse

On écrit :

\[ 16^{250}=(2^4)^{250}=2^{1000}. \]

Donc :

\[ N=7^{21}\times16^{250} = 7^{21}\times2^{1000}. \]

La décomposition en facteurs premiers est donc :

\[ N=2^{1000}\times7^{21}. \]

Le nombre de diviseurs positifs est :

\[ (1000+1)(21+1). \]

Donc :

\[ d(N)=1001\times22. \]

Finalement :

\[ d(N)=22022. \]

Idée utile : si \(N=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\), alors le nombre de diviseurs positifs est \((a_1+1)(a_2+1)\).

Résultat obtenu : \(\boxed{22022}\)

Question 4

Rappel de la question : \(x\) et \(y\) sont deux réels non nuls inverses l’un de l’autre. On sait que la somme du carré de leur somme avec la somme de leurs carrés est égale à \(10\). On cherche \(x^2\).

Rappel utile
Lorsque \(x\) et \(y\) sont inverses, poser \(t=x+\frac1x\) permet de faire apparaître \(x^2+\frac1{x^2}\).

Réponse

Comme \(x\) et \(y\) sont inverses et non nuls, on peut écrire :

\[ y=\frac1x. \]

La condition donnée est :

\[ (x+y)^2+x^2+y^2=10. \]

Posons :

\[ t=x+\frac1x. \]

Alors :

\[ t^2=x^2+2+\frac1{x^2}. \] Donc : \[ x^2+\frac1{x^2}=t^2-2. \]

La condition devient :

\[ t^2+(t^2-2)=10. \]

Donc :

\[ 2t^2=12, \qquad t^2=6. \]

Ainsi :

\[ x^2+\frac1{x^2}=t^2-2=4. \]

Posons :

\[ X=x^2. \]

Comme \(x\ne0\), on a \(X\gt0\), et :

\[ X+\frac1X=4. \]

En multipliant par \(X\) :

\[ X^2+1=4X. \] Donc : \[ X^2-4X+1=0. \]

Le discriminant vaut :

\[ \Delta=16-4=12. \]

Donc :

\[ X=\frac{4\pm\sqrt{12}}2=2\pm\sqrt3. \]

Ainsi :

\[ x^2=2-\sqrt3 \quad\text{ou}\quad x^2=2+\sqrt3. \]

La proposition attendue correspond à :

\[ x^2=2+\sqrt3. \]

Idée utile : lorsque deux nombres sont inverses, poser \(x+\frac1x\) permet de faire apparaître \(x^2+\frac1{x^2}\).

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 5

Rappel de la question : calculer le produit : \[ \prod_{k=0}^{9}\sqrt[3\cdot2^k]{5}. \]

Rappel utile
Un produit de racines se transforme en une puissance dont l’exposant est une somme géométrique.

Réponse

On écrit chaque facteur sous forme de puissance :

\[ \sqrt[3\cdot2^k]{5}=5^{\frac1{3\cdot2^k}}. \]

Le produit devient donc :

\[ \prod_{k=0}^{9}\sqrt[3\cdot2^k]{5} = 5^{\sum_{k=0}^{9}\frac1{3\cdot2^k}}. \]

On factorise \(\frac13\) :

\[ \sum_{k=0}^{9}\frac1{3\cdot2^k} = \frac13\sum_{k=0}^{9}\left(\frac12\right)^k. \]

La somme géométrique donne :

\[ \sum_{k=0}^{9}\left(\frac12\right)^k = \frac{1-\left(\frac12\right)^{10}}{1-\frac12} = 2\left(1-\frac1{1024}\right). \]

Donc :

\[ \sum_{k=0}^{9}\left(\frac12\right)^k = \frac{1023}{512}. \]

Ainsi l’exposant total est :

\[ \frac13\cdot\frac{1023}{512} = \frac{341}{512}. \]

Finalement :

\[ \prod_{k=0}^{9}\sqrt[3\cdot2^k]{5} = 5^{\frac{341}{512}}. \]

Idée utile : un produit de racines se transforme en somme d’exposants.

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 6

Rappel de la question : calculer : \[ \lim_{n\to+\infty}3^ne^{-3n}. \]

Rappel utile
Si \(0\lt q\lt1\), alors \(q^n\to0\).

Réponse

On écrit : \[ 3^ne^{-3n}=\left(\frac3{e^3}\right)^n. \] Comme : \[ 0\lt \frac3{e^3}\lt1, \] on obtient : \[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac3{e^3}\right)^n=0. \]

Idée utile : si \(0\lt q\lt1\), alors \(q^n\to0\).

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 7

Rappel de la question : on sait que \[ (3+\sqrt5)^n+(3-\sqrt5)^n \] est un entier pair. Calculer : \[ \lim_{n\to+\infty}\sin\left((3+\sqrt5)^n\pi\right). \]

Rappel utile
On utilise l’entier pair donné pour remplacer un grand angle par un petit terme qui tend vers \(0\).

Réponse

Posons : \[ A_n=(3+\sqrt5)^n,\qquad B_n=(3-\sqrt5)^n. \] On sait que : \[ A_n+B_n=2p_n \] avec \(p_n\in\mathbb Z\). Donc : \[ A_n=2p_n-B_n. \] Ainsi : \[ \sin(A_n\pi)=\sin((2p_n-B_n)\pi). \] Comme \(2p_n\pi\) est un multiple pair de \(\pi\), on obtient : \[ \sin(A_n\pi)=-\sin(B_n\pi). \] Or : \[ 0\lt3-\sqrt5\lt1, \] donc : \[ B_n=(3-\sqrt5)^n\to0. \] Ainsi : \[ \sin(B_n\pi)\to0. \] Donc : \[ \lim_{n\to+\infty}\sin((3+\sqrt5)^n\pi)=0. \]

Idée utile : utiliser l’entier pair donné pour remplacer une quantité compliquée par une quantité qui tend vers \(0\).

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 8

Rappel de la question : calculer : \[ \lim_{x\to\frac{\pi}{6}} \frac{\sqrt3\sin x-\cos x}{x-\frac{\pi}{6}}. \]

Rappel utile
Une limite de la forme \(\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\) est égale à \(g'(a)\), si \(g\) est dérivable en \(a\).

Réponse

Posons : \[ g(x)=\sqrt3\sin x-\cos x. \] On a : \[ g\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt3\cdot\frac12-\frac{\sqrt3}{2}=0. \] La limite est donc : \[ g'\left(\frac{\pi}{6}\right). \] Or : \[ g'(x)=\sqrt3\cos x+\sin x. \] Donc : \[ g'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 = \frac32+\frac12=2. \]

Idée utile : une limite de la forme \(\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\) donne \(g'(a)\).

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 9

Rappel de la question : calculer : \[ \lim_{x\to0^+}x^{\frac1{\ln(3x)}}. \]

Rappel utile
Pour une puissance variable, on écrit \(a(x)^{b(x)}=\exp\bigl(b(x)\ln(a(x))\bigr)\).

Réponse

On écrit : \[ x^{\frac1{\ln(3x)}}= \exp\left(\frac{\ln x}{\ln(3x)}\right). \] Or : \[ \ln(3x)=\ln x+\ln3. \] Lorsque \(x\to0^+\), on a \(\ln x\to-\infty\). Donc : \[ \frac{\ln x}{\ln x+\ln3}\to1. \] Par conséquent : \[ \lim_{x\to0^+}x^{\frac1{\ln(3x)}}=e. \]

Idée utile : pour une puissance variable, passer par l’écriture exponentielle.

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 10

Rappel de la question : \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) est \(T\)-périodique, \(T\gt0\), et \[ \lim_{x\to+\infty}f(x) \] existe dans \(\mathbb R^*\).

Rappel utile
Une fonction périodique qui possède une limite finie en \(+\infty\) est constante.

Réponse

Soit \(L\) cette limite. Comme \(L\in\mathbb R^*\), on a \(L\ne0\).
Pour tout réel \(x\), comme \(f\) est \(T\)-périodique : \[ f(x)=f(x+nT). \] En faisant tendre \(n\) vers \(+\infty\), on obtient : \[ f(x)=L. \] Donc \(f\) est constante, et cette constante est non nulle.

Idée utile : une fonction périodique qui admet une limite finie en \(+\infty\) est constante.

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Question 11

Rappel de la question : soit \[ f(x)= \begin{cases} x^2+x^3\cos\left(\frac1x\right), & x\ne0,\\ 0, & x=0. \end{cases} \] On cherche \(f'(0)\).

Rappel utile
Pour calculer \(f'(0)\), on revient à la définition \(\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}x\).

Réponse

Par définition : \[ f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}. \] Donc : \[ f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{x^2+x^3\cos\left(\frac1x\right)}{x} = \lim_{x\to0}\left(x+x^2\cos\left(\frac1x\right)\right). \] Or : \[ -x^2\leq x^2\cos\left(\frac1x\right)\leq x^2. \] Donc : \[ x+x^2\cos\left(\frac1x\right)\to0. \] Ainsi : \[ f'(0)=0. \]

Idée utile : une fonction bornée multipliée par \(x^2\) tend vers \(0\).

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 12

Rappel de la question : pour la même fonction : \[ f(x)=x^2+x^3\cos\left(\frac1x\right)\quad(x\ne0),\qquad f(0)=0, \] déterminer si \(f''(0)\) existe.

Rappel utile
Pour l’existence de \(f''(0)\), on étudie \(\lim_{x\to0}\frac{f'(x)-f'(0)}x\).

Réponse

Pour \(x\ne0\), on dérive : \[ f'(x)=2x+3x^2\cos\left(\frac1x\right)+x\sin\left(\frac1x\right). \] On sait que \(f'(0)=0\). Donc : \[ f''(0)=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x}. \] Ainsi : \[ \frac{f'(x)}{x} = 2+3x\cos\left(\frac1x\right)+\sin\left(\frac1x\right). \] Le terme \(\sin\left(\frac1x\right)\) n’a pas de limite lorsque \(x\to0\). Donc \(f''(0)\) n’existe pas.

Idée utile : la présence de \(\sin\left(\frac1x\right)\) sans facteur qui tend vers \(0\) empêche l’existence de la limite.

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Question 13

Rappel de la question : trouver l’aire de la région délimitée par \[ y=\cos(\ln x), \] et les droites : \[ x=e^{\frac{\pi}{2}} \qquad\text{et}\qquad x=e^\pi. \]

Rappel utile
Pour une aire avec une courbe négative, on intègre l’opposé de la fonction sur l’intervalle.

Réponse

Sur l’intervalle :

\[ x\in\left[e^{\frac{\pi}{2}},e^\pi\right], \] on a :

\[ \ln x\in\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]. \]

Donc :

\[ \cos(\ln x)\le0. \]

L’aire cherchée est donc :

\[ A=-\int_{e^{\frac{\pi}{2}}}^{e^\pi}\cos(\ln x)\,dx. \]

On vérifie une primitive :

\[ F(x)=\frac{x}{2}\bigl(\sin(\ln x)+\cos(\ln x)\bigr). \]

En effet :

\[ F'(x)=\frac12\bigl(\sin(\ln x)+\cos(\ln x)\bigr) + \frac{x}{2}\left(\frac{\cos(\ln x)}x-\frac{\sin(\ln x)}x\right). \]

Donc :

\[ F'(x)=\cos(\ln x). \]

Ainsi :

\[ \int_{e^{\frac{\pi}{2}}}^{e^\pi}\cos(\ln x)\,dx = F(e^\pi)-F\left(e^{\frac{\pi}{2}}\right). \]

Or :

\[ F(e^\pi)=\frac{e^\pi}{2}(\sin\pi+\cos\pi)=-\frac{e^\pi}{2}, \] et : \[ F\left(e^{\frac{\pi}{2}}\right) = \frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{2} \left(\sin\frac{\pi}{2}+\cos\frac{\pi}{2}\right) = \frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{2}. \]

Donc :

\[ \int_{e^{\frac{\pi}{2}}}^{e^\pi}\cos(\ln x)\,dx = -\frac12\left(e^\pi+e^{\frac{\pi}{2}}\right). \]

Finalement :

\[ A=\frac12\left(e^\pi+e^{\frac{\pi}{2}}\right). \]

Idée utile : poser \(u=\ln x\) ou reconnaître la primitive de \(\cos(\ln x)\).

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 14

Rappel de la question : \(f:[0,\alpha]\to\mathbb R\) est continue, \(f(x)\ne-1\), et : \[ f(x)f(\alpha-x)=1. \] Calculer : \[ \int_0^\alpha\frac1{1+f(x)}\,dx. \]

Rappel utile
Quand une relation contient \(f(x)\) et \(f(\alpha-x)\), le changement \(x\mapsto\alpha-x\) est naturel.

Réponse

Posons : \[ I=\int_0^\alpha\frac1{1+f(x)}\,dx. \] Avec le changement \(x\mapsto\alpha-x\), on obtient : \[ I=\int_0^\alpha\frac1{1+f(\alpha-x)}\,dx. \] Or : \[ f(x)f(\alpha-x)=1, \] donc : \[ f(\alpha-x)=\frac1{f(x)}. \] Ainsi : \[ I=\int_0^\alpha\frac1{1+\frac1{f(x)}}\,dx = \int_0^\alpha\frac{f(x)}{1+f(x)}\,dx. \] En additionnant les deux expressions de \(I\) : \[ 2I=\int_0^\alpha\left(\frac1{1+f(x)}+\frac{f(x)}{1+f(x)}\right)\,dx. \] Donc : \[ 2I=\int_0^\alpha1\,dx=\alpha. \] Finalement : \[ I=\frac{\alpha}{2}. \]

Idée utile : lorsqu’une relation contient \(f(x)\) et \(f(\alpha-x)\), on utilise le changement \(x\mapsto\alpha-x\).

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 15

Rappel de la question : soit : \[ f(x)=e^{-x}\sin x. \] Déterminer \(f^{(4)}(x)\).

Rappel utile
Pour les dérivées successives de \(e^{-x}\sin x\), l’écriture complexe permet de multiplier par le même nombre à chaque dérivation.

Réponse

On écrit :

\[ f(x)=e^{-x}\sin x. \]

On peut voir \(f(x)\) comme la partie imaginaire de :

\[ e^{-x}e^{ix}=e^{(-1+i)x}. \]

À chaque dérivation, l’expression complexe \(e^{(-1+i)x}\) est multipliée par :

\[ -1+i. \]

Après quatre dérivations, on multiplie donc par :

\[ (-1+i)^4. \]

Calculons :

\[ (-1+i)^2=1-2i+i^2=-2i. \]

Donc :

\[ (-1+i)^4=(-2i)^2=4i^2=-4. \]

Ainsi :

\[ f^{(4)}(x)=-4f(x). \]

Donc :

\[ f^{(4)}(x)=-4e^{-x}\sin x. \]

Idée utile : pour \(e^{ax}\sin bx\), l’écriture complexe peut accélérer le calcul des dérivées successives.

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 16

Rappel de la question : pour la même fonction : \[ f(x)=e^{-x}\sin x, \] calculer : \[ \int_0^\pi f(x)\,dx. \]

Rappel utile
La primitive de \(e^{-x}\sin x\) peut être vérifiée directement par dérivation.

Réponse

On utilise la primitive :

\[ \int e^{-x}\sin x\,dx = \frac{e^{-x}(-\sin x-\cos x)}2. \]

On peut la vérifier rapidement par dérivation.

Donc :

\[ \int_0^\pi e^{-x}\sin x\,dx = \left[ \frac{e^{-x}(-\sin x-\cos x)}2 \right]_0^\pi. \]

En \(x=\pi\) :

\[ \sin\pi=0, \qquad \cos\pi=-1. \]

Donc :

\[ \frac{e^{-\pi}(-0-(-1))}{2} = \frac{e^{-\pi}}2. \]

En \(x=0\) :

\[ \sin0=0, \qquad \cos0=1. \]

Donc :

\[ \frac{e^0(-0-1)}2=-\frac12. \]

Finalement :

\[ \int_0^\pi e^{-x}\sin x\,dx = \frac{e^{-\pi}}2-\left(-\frac12\right). \]

Ainsi :

\[ \int_0^\pi e^{-x}\sin x\,dx = \frac12(1+e^{-\pi}). \]

Idée utile : pour intégrer \(e^{-x}\sin x\), on utilise la primitive standard ou deux intégrations par parties.

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 17

Rappel de la question : soit \(u\) la solution de : \[ z\overline z+4iz=-3+4i. \] Déterminer l’affirmation correcte.

Rappel utile
Quand une équation contient \(z\overline z\), on pose \(z=a+ib\) et on identifie les parties réelle et imaginaire.

Réponse

Posons : \[ z=a+ib. \] Alors : \[ z\overline z=a^2+b^2 \] et : \[ 4iz=4i(a+ib)=4ia-4b. \] Donc : \[ z\overline z+4iz=(a^2+b^2-4b)+4ai. \] En identifiant avec \(-3+4i\), on obtient : \[ 4a=4, \] donc : \[ a=1. \] Et : \[ a^2+b^2-4b=-3. \] Donc : \[ 1+b^2-4b=-3, \] d’où : \[ b^2-4b+4=0. \] Ainsi : \[ b=2. \] Donc : \[ u=1+2i. \] Par conséquent : \[ \operatorname{Re}(u)\times\operatorname{Im}(u)=1\times2=2. \]

Idée utile : pour une équation avec \(z\overline z\), poser \(z=a+ib\) et identifier les parties réelle et imaginaire.

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 18

Rappel de la question : soient \(z_1\) et \(z_2\) les solutions de : \[ z^2-2\overline z+3=0. \] Calculer : \[ \operatorname{Re}\left(\frac{z_1}{z_2}\right). \]

Rappel utile
Quand une équation contient \(\overline z\), poser \(z=x+iy\) est la voie la plus sûre.

Réponse

Posons : \[ z=x+iy. \] Alors : \[ z^2=(x^2-y^2)+2ixy, \qquad \overline z=x-iy. \] L’équation devient : \[ (x^2-y^2)-2x+3+i(2xy+2y)=0. \] Donc : \[ 2y(x+1)=0. \] Si \(y=0\), l’équation réelle devient : \[ x^2-2x+3=0, \] qui n’a pas de solution réelle. Donc : \[ x=-1. \] L’équation réelle donne : \[ 1-y^2+2+3=0. \] Donc : \[ y^2=6. \] Les solutions sont : \[ z_1=-1+i\sqrt6,\qquad z_2=-1-i\sqrt6. \] Alors : \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{-1+i\sqrt6}{-1-i\sqrt6} = \frac{(-1+i\sqrt6)^2}{(-1)^2+(\sqrt6)^2}. \] Donc : \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{1-2i\sqrt6-6}{7} = \frac{-5-2i\sqrt6}{7}. \] Ainsi : \[ \operatorname{Re}\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=-\frac57. \]

Idée utile : lorsqu’une équation contient \(\overline z\), poser \(z=x+iy\) est souvent la démarche la plus sûre.

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Question 19

Rappel de la question : soit \[ z=\cos^2\theta+i\sin\theta\cos\theta. \] Trouver la partie réelle de \(z^{-3}\).

Rappel utile
Pour calculer \(z^{-3}\), il faut d’abord écrire \(z\) sous forme trigonométrique.

Réponse

On factorise : \[ z=\cos\theta(\cos\theta+i\sin\theta). \] Donc : \[ z=\cos\theta\,e^{i\theta}. \] Ainsi : \[ z^{-3} = \frac{1}{\cos^3\theta}e^{-i3\theta}. \] Donc : \[ \operatorname{Re}(z^{-3}) = \frac{\cos(3\theta)}{\cos^3\theta}. \]

Idée utile : factoriser pour faire apparaître la forme exponentielle \(\cos\theta+i\sin\theta\).

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 20

Rappel de la question : développer \(\cos(5\theta)\) en fonction de \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\).

Rappel utile
La formule de Moivre permet d’obtenir \(\cos(5\theta)\) comme partie réelle d’une puissance complexe.

Réponse

On utilise : \[ \cos(5\theta)=\operatorname{Re}\left((\cos\theta+i\sin\theta)^5\right). \] En développant : \[ (\cos\theta+i\sin\theta)^5 = \cos^5\theta +5i\cos^4\theta\sin\theta -10\cos^3\theta\sin^2\theta -10i\cos^2\theta\sin^3\theta +5\cos\theta\sin^4\theta +i\sin^5\theta. \] La partie réelle est donc : \[ \cos(5\theta) = \cos^5\theta -10\cos^3\theta\sin^2\theta +5\cos\theta\sin^4\theta. \]

Idée utile : utiliser la formule de Moivre \((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\).

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Conseil aux élèves

Le concours ENSA 2021 mélange logique, arithmétique, limites, intégrales, nombres complexes et trigonométrie. Les questions sont courtes, mais elles exigent une reconnaissance rapide de la idée.

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