Correction des exercices 24 et 25
Fonctions puissances — Résolution d’équations
2e Bac Sciences Mathématiques
Cette page propose la correction détaillée des exercices 24 et 25 du manuel Al Moufid. Les équations sont résolues à l’aide des propriétés des puissances, des changements d’inconnue, de l’injectivité des fonctions exponentielles et du logarithme népérien.
Exercice 24 Équations exponentielles et puissances
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Les deux membres sont strictement positifs. On applique le logarithme népérien :
\[ (x+1)\ln3=x\ln5. \]Donc :
\[ x\ln5-x\ln3=\ln3. \]Ainsi :
\[ x\ln\left(\frac53\right)=\ln3. \]Comme \(\ln\left(\frac53\right)\ne0\), on obtient :
Lire la réponse + Masquer la réponse −
On applique le logarithme népérien :
\[ \left(\frac x2+1\right)\ln2 = (x-3)\ln3. \]Après développement :
\[ \frac x2\ln2+\ln2 = x\ln3-3\ln3. \]On regroupe les termes contenant \(x\) :
\[ x\left( \ln3-\frac12\ln2 \right) = \ln2+3\ln3. \]Comme \(\ln3-\dfrac12\ln2\ne0\), on obtient :
Lire la réponse + Masquer la réponse −
On regroupe les puissances de mêmes exposants :
\[ \begin{aligned} 2^{x+1}3^{x+\frac12} &= 2\sqrt3\,6^x. \end{aligned} \]L’équation devient :
\[ 2\sqrt3\,6^x = 3\sqrt2\,6^{2x}. \]Comme \(6^x\gt 0\), on divise par \(6^x\) :
\[ 2\sqrt3 = 3\sqrt2\,6^x. \]Donc :
\[ 6^x = \frac{2\sqrt3}{3\sqrt2} = \sqrt{\frac23}. \]En appliquant le logarithme népérien :
\[ x\ln6 = \frac12\ln\left(\frac23\right). \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
On écrit :
\[ 169=13^2=\left(\frac1{13}\right)^{-2}. \]La base \(\dfrac1{13}\) est strictement positive et différente de \(1\). Donc :
\[ x^2-2x=-2. \]Ainsi :
\[ x^2-2x+2=0. \]Or :
\[ x^2-2x+2 = (x-1)^2+1\gt 0 \]pour tout réel \(x\). L’équation n’admet donc aucune solution réelle.
Lire la réponse + Masquer la réponse −
On applique le logarithme népérien :
\[ x\ln7=x^2\ln3. \]Donc :
\[ x\left(x\ln3-\ln7\right)=0. \]Ainsi :
\[ x=0 \]ou :
\[ x\ln3=\ln7. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Posons :
\[ t=3^x\gt 0. \]Alors :
\[ 9^x=t^2 \qquad\text{et}\qquad 3^{x+1}=3t. \]L’équation devient :
\[ t^2-3t-54=0. \]On factorise :
\[ (t-9)(t+6)=0. \]Comme \(t\gt 0\), on conserve seulement :
\[ t=9. \]Donc :
\[ 3^x=9=3^2. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Posons :
\[ t=5^{x+1}\gt 0. \]Alors :
\[ 5^{2x+2}=t^2. \]L’équation devient :
\[ t^2-126t+125=0. \]On factorise :
\[ (t-1)(t-125)=0. \]Donc :
\[ t=1 \qquad\text{ou}\qquad t=125. \]Premier cas :
\[ 5^{x+1}=1=5^0 \iff x=-1. \]Deuxième cas :
\[ 5^{x+1}=125=5^3 \iff x=2. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Posons :
\[ t=4^x\gt 0. \]Alors :
\[ 4^{x+1}=4t \qquad\text{et}\qquad 4^{-x}=\frac1t. \]L’équation devient :
\[ 4t+\frac2t=7. \]Comme \(t\gt 0\), on multiplie par \(t\) :
\[ 4t^2-7t+2=0. \]Le discriminant vaut :
\[ \Delta=49-32=17. \]Les deux racines sont :
\[ t_1=\frac{7-\sqrt{17}}8 \qquad\text{et}\qquad t_2=\frac{7+\sqrt{17}}8. \]Elles sont toutes les deux strictement positives. Donc :
\[ 4^x=t_1 \qquad\text{ou}\qquad 4^x=t_2. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Posons :
\[ t=10^{x-1}\gt 0. \]On a :
\[ 100^{x-\frac12} = 10^{2x-1} = 10t^2. \]L’équation devient :
\[ 10t^2-12t+2=0. \]En divisant par \(2\) :
\[ 5t^2-6t+1=0. \]On factorise :
\[ (5t-1)(t-1)=0. \]Donc :
\[ t=\frac15 \qquad\text{ou}\qquad t=1. \]Si \(10^{x-1}=1\), alors \(x=1\).
Si \(10^{x-1}=\dfrac15\), alors :
\[ 10^x=2. \]Donc :
\[ x=\frac{\ln2}{\ln10}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Posons :
\[ t=7^{x+1}\gt 0. \]Alors :
\[ 7^{x+2}=7t \qquad\text{et}\qquad 7^{-x-1}=\frac1t. \]L’équation devient :
\[ 7t-\frac1t=6. \]Comme \(t\gt 0\), on multiplie par \(t\) :
\[ 7t^2-6t-1=0. \]On factorise :
\[ (7t+1)(t-1)=0. \]Comme \(t\gt 0\), on conserve \(t=1\). Donc :
\[ 7^{x+1}=1=7^0. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Posons :
\[ t=10^{2x}\gt 0. \]Alors :
\[ 100^{2x}=10^{4x}=t^2 \]et :
\[ 10^{2x+1}=10t. \]L’équation devient :
\[ t^2-10t+9=0. \]On factorise :
\[ (t-1)(t-9)=0. \]Donc \(t=1\) ou \(t=9\).
Si \(10^{2x}=1\), alors \(x=0\).
Si \(10^{2x}=9=3^2\), alors :
\[ 2x\ln10=2\ln3. \]Donc :
\[ x=\frac{\ln3}{\ln10}. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Comme \(3^{2x}\gt 0\), on divise l’équation par \(3^{2x}\) :
\[ \left(\frac23\right)^{2x} - \left(\frac23\right)^x = 2. \]Posons :
\[ t=\left(\frac23\right)^x\gt 0. \]L’équation devient :
\[ t^2-t-2=0. \]On factorise :
\[ (t-2)(t+1)=0. \]Comme \(t\gt 0\), on conserve seulement \(t=2\). Donc :
\[ \left(\frac23\right)^x=2. \]En appliquant le logarithme népérien :
\[ x\ln\left(\frac23\right)=\ln2. \]Exercice 25 Équations à base variable
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Posons :
\[ t=3^{-x}\gt 0. \]Alors :
\[ 3^{-2x+1}=3t^2 \qquad\text{et}\qquad 3^{-x+1}=3t. \]L’équation devient :
\[ 6t^2+3\sqrt3\,t-2=0. \]Le discriminant vaut :
\[ \Delta = (3\sqrt3)^2-4\times6\times(-2) = 75. \]Donc :
\[ \sqrt\Delta=5\sqrt3. \]Les racines sont :
\[ t_1= \frac{-3\sqrt3-5\sqrt3}{12}\lt 0 \]et :
\[ t_2= \frac{-3\sqrt3+5\sqrt3}{12} = \frac{\sqrt3}{6}. \]Comme \(t\gt 0\), on conserve :
\[ 3^{-x}=\frac{\sqrt3}{6}. \]En prenant les inverses :
\[ 3^x=2\sqrt3. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour que les puissances réelles soient définies, il faut \(x\gt 0\).
Comme \(\sqrt x=x^{1/2}\), on a :
\[ (\sqrt x)^x=x^{\frac x2}. \]L’équation devient :
\[ x^{\sqrt x}=x^{\frac x2}. \]Premier cas : \(x=1\).
Alors les deux membres valent \(1\), donc \(x=1\) est solution.
Deuxième cas : \(x\gt 0\) et \(x\ne1\).
La fonction \(t\mapsto x^t\) est injective. Donc :
\[ \sqrt x=\frac x2. \]Posons \(y=\sqrt x\gt 0\). Alors \(x=y^2\), et :
\[ y=\frac{y^2}{2}. \]Donc :
\[ y(y-2)=0. \]Comme \(y\gt 0\), on obtient \(y=2\), d’où \(x=4\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
On regroupe les termes de mêmes bases :
\[ 4^x+2^{2x-1} = 3^{x-\frac12}+3^{x+\frac12}. \]Or :
\[ 2^{2x-1}=\frac12\,4^x. \]Donc le membre de gauche vaut :
\[ \frac32\,4^x. \]Le membre de droite vaut :
\[ \begin{aligned} 3^{x-\frac12} + 3^{x+\frac12} &= 3^{x-\frac12}(1+3)\\ &= 4\,3^{x-\frac12}. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \frac32\,4^x = 4\,3^{x-\frac12}. \]En divisant par \(3^x\gt 0\) :
\[ \frac32 \left(\frac43\right)^x = \frac4{\sqrt3}. \]Donc :
\[ \left(\frac43\right)^x = \frac8{3\sqrt3}. \]Or :
\[ \frac8{3\sqrt3} = \left(\frac43\right)^{\frac32}. \]La base \(\dfrac43\) étant différente de \(1\), on obtient :
Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour que les deux puissances réelles soient définies et pour que \(\dfrac6x\) existe, il faut \(x\gt 0\).
Premier cas : \(x=1\).
Les deux membres valent \(1\), donc \(x=1\) est solution.
Deuxième cas : \(x\gt 0\) et \(x\ne1\).
La fonction \(t\mapsto x^t\) est injective. Donc :
\[ x+1=\frac6x. \]Comme \(x\gt 0\), on multiplie par \(x\) :
\[ x^2+x-6=0. \]On factorise :
\[ (x+3)(x-2)=0. \]Dans le domaine \(x\gt 0\), on conserve seulement \(x=2\).
Lire la réponse + Masquer la réponse −
On transforme chaque terme :
\[ 2^{2x-1} = \frac12\,4^x. \]De même :
\[ 4^{x-\frac12} = \frac12\,4^x. \]Enfin :
\[ 9^{\frac x2+1} = 9\times9^{\frac x2} = 9\times3^x. \]L’équation devient :
\[ \frac12\,4^x + 3^x + \frac12\,4^x - 9\times3^x = 0. \]Donc :
\[ 4^x-8\times3^x=0. \]Comme \(3^x\gt 0\), on divise par \(3^x\) :
\[ \left(\frac43\right)^x=8. \]En appliquant le logarithme népérien :
\[ x\ln\left(\frac43\right)=\ln8. \]Lire la réponse + Masquer la réponse −
Pour que les puissances réelles soient définies, il faut \(x\gt 0\).
Comme \(\sqrt[4]{x}=x^{1/4}\), on a :
\[ \left(\sqrt[4]{x}\right)^{1+\sqrt x} = x^{\frac{1+\sqrt x}{4}}. \]L’équation devient :
\[ x^{\sqrt x} = x^{\frac{1+\sqrt x}{4}}. \]Premier cas : \(x=1\).
Les deux membres valent \(1\), donc \(x=1\) est solution.
Deuxième cas : \(x\gt 0\) et \(x\ne1\).
La fonction \(t\mapsto x^t\) est injective. Donc :
\[ \sqrt x = \frac{1+\sqrt x}{4}. \]Ainsi :
\[ 4\sqrt x=1+\sqrt x. \]Donc :
\[ 3\sqrt x=1. \]Par conséquent :
\[ \sqrt x=\frac13 \qquad\text{et}\qquad x=\frac19. \]Méthodes à retenir
- Si \(a\gt 0\) et \(a\ne1\), alors \(a^u=a^v\) équivaut à \(u=v\).
- Pour une équation polynomiale en \(a^x\), on pose \(t=a^x\gt 0\).
- Lorsque la base dépend de \(x\), il faut déterminer le domaine et traiter séparément le cas où cette base vaut \(1\).
- Une solution obtenue pour la nouvelle inconnue doit toujours respecter sa condition de positivité.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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