Correction des exercices 24 et 25 — Fonctions puissances
Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques
Résolution d’équations exponentielles et d’équations à base variable
Introduction
Les exercices 24 et 25 proposent dix-huit équations qui demandent de mobiliser les propriétés des puissances réelles et de la fonction logarithme népérien. Les méthodes diffèrent selon la structure de l’expression : certaines équations deviennent linéaires après passage au logarithme, tandis que d’autres se ramènent à un trinôme à l’aide d’un changement d’inconnue strictement positif. Quand la base dépend elle-même de la variable, il faut auparavant déterminer le domaine de définition et isoler le cas particulier où cette base vaut 1.
Pour chaque question, nous identifierons la propriété utile et ses conditions avant d’engager les calculs. Une attention particulière sera accordée à la positivité des exponentielles, aux divisions autorisées, aux valeurs rejetées après un changement d’inconnue et au retour à la variable initiale. L’objectif est de reconnaître la structure d’une équation, puis de choisir une démarche sûre que l’on pourra réutiliser dans d’autres exercices.
Repère de cours — Puissances et logarithmes
Pour tout réel a strictement positif et différent de 1, la fonction \(t\mapsto a^t\) est strictement monotone, donc injective. Ainsi, pour tous réels u et v :
\[a^u=a^v\quad\Longleftrightarrow\quad u=v.\]La condition sur la base est indispensable. Lorsque la base vaut 1, toutes ses puissances sont égales à 1 et on ne peut plus identifier leurs exposants.
Lorsque les bases sont positives mais différentes, on peut utiliser le logarithme népérien :
\[a^u=b^v\quad\Longleftrightarrow\quad u\ln a=v\ln b\qquad(a>0,\;b>0).\]Si une équation contient un trinôme en une expression telle que \(a^x\), le changement d’inconnue \(t=a^x\) est utile, à condition de conserver \(t>0\) pendant toute la résolution.
Piège à éviter. Dans une équation faisant intervenir \(x^u\), la positivité \(x>0\) permet de définir les puissances réelles ; l’égalité des exposants demande en plus \(x\ne1\). Il faut donc étudier séparément la valeur \(x=1\).
Exercice 24 — Équations exponentielles et puissances
Exercice 24 — Question 01. Résoudre \(3^{x+1}=5^x\)
\[ 3^{x+1}=5^x. \]Afficher la correction — Exercice 24 — Question 01
Repère de cours et stratégie. La question met en jeu deux fonctions exponentielles de bases positives, distinctes et différentes de 1. Nous cherchons à isoler x : le logarithme transforme les puissances en produits, puisque tous les membres sont strictement positifs.
Conditions et vigilance. Il faut conserver le coefficient du terme en x et vérifier qu’il n’est pas nul avant toute division.
Les deux membres sont strictement positifs. On applique le logarithme népérien :
\[ (x+1)\ln3=x\ln5. \]Donc :
\[ x\ln5-x\ln3=\ln3. \]Ainsi :
\[ x\ln\left(\frac53\right)=\ln3. \]Comme \(\ln\left(\frac53\right)\ne0\), on obtient :
Vérification de la démarche. Les propriétés des logarithmes ont ramené le problème à une égalité linéaire. La conclusion sera unique parce que le coefficient de x est non nul.
Interprétation du résultat. La solution est unique : les deux exponentielles initiales se rencontrent pour une seule valeur réelle de x.
Exercice 24 — Question 02. Résoudre \(2^{\frac x2+1}=3^{x-3}\)
\[ 2^{\frac x2+1}=3^{x-3}. \]Afficher la correction — Exercice 24 — Question 02
Repère de cours et stratégie. La présence de x/2 dans un exposant ne change pas la méthode. Les bases 2 et 3 sont strictement positives : on peut prendre le logarithme de chaque membre, puis résoudre une équation du premier degré en x.
Conditions et vigilance. Le coefficient de x sera strictement positif, car 3 est supérieur à la racine carrée de 2.
On applique le logarithme népérien :
\[ \left(\frac x2+1\right)\ln2 = (x-3)\ln3. \]Après développement :
\[ \frac x2\ln2+\ln2 = x\ln3-3\ln3. \]On regroupe les termes contenant \(x\) :
\[ x\left( \ln3-\frac12\ln2 \right) = \ln2+3\ln3. \]Comme \(\ln3-\dfrac12\ln2\ne0\), on obtient :
Vérification de la démarche. Les logarithmes des bases interviennent seulement comme coefficients réels connus. Il suffit maintenant d’isoler x.
Interprétation du résultat. Nous obtenons une seule valeur de x. Le dénominateur non nul assure que la division utilisée était légitime.
Exercice 24 — Question 03. Résoudre \(2^{x+1}3^{x+\frac12}=3\sqrt2\,6^{2x}\)
\[ 2^{x+1}3^{x+\frac12} = 3\sqrt2\,6^{2x}. \]Afficher la correction — Exercice 24 — Question 03
Repère de cours et stratégie. Avant d’appliquer le logarithme, observons que les deux bases 2 et 3 apparaissent dans un même produit. Regrouper les facteurs sous la base 6 permet d’obtenir une seule puissance inconnue et d’éviter une équation plus lourde.
Conditions et vigilance. La division par 6^x est autorisée : une puissance de base strictement positive ne s’annule jamais.
On regroupe les puissances de mêmes exposants :
\[ \begin{aligned} 2^{x+1}3^{x+\frac12} &= 2\sqrt3\,6^x. \end{aligned} \]L’équation devient :
\[ 2\sqrt3\,6^x = 3\sqrt2\,6^{2x}. \]Comme \(6^x\gt 0\), on divise par \(6^x\) :
\[ 2\sqrt3 = 3\sqrt2\,6^x. \]Donc :
\[ 6^x = \frac{2\sqrt3}{3\sqrt2} = \sqrt{\frac23}. \]En appliquant le logarithme népérien :
\[ x\ln6 = \frac12\ln\left(\frac23\right). \]Vérification de la démarche. La première transformation a remplacé trois facteurs exponentiels par deux puissances de la seule base 6 ; la résolution devient immédiate.
Interprétation du résultat. La solution obtenue vérifie une égalité de puissances strictement positives ; toutes les divisions effectuées étaient donc réversibles.
Exercice 24 — Question 04. Résoudre \(\left(\frac1{13}\right)^{x^2-2x}=169\)
\[ \left(\frac1{13}\right)^{x^2-2x}=169. \]Afficher la correction — Exercice 24 — Question 04
Repère de cours et stratégie. Nous avons deux puissances d’une même base : 1/13 est strictement positive et différente de 1. L’injectivité de la fonction puissance permet d’identifier les exposants après avoir réécrit 169 avec cette base.
Conditions et vigilance. Une fois les exposants égalisés, il reste une équation du second degré ; sa résolution se fait dans ℝ et doit être examinée entièrement.
On écrit :
\[ 169=13^2=\left(\frac1{13}\right)^{-2}. \]La base \(\dfrac1{13}\) est strictement positive et différente de \(1\). Donc :
\[ x^2-2x=-2. \]Ainsi :
\[ x^2-2x+2=0. \]Or :
\[ x^2-2x+2 = (x-1)^2+1\gt 0 \]pour tout réel \(x\). L’équation n’admet donc aucune solution réelle.
Vérification de la démarche. Le carré (x−1)² étant toujours positif ou nul, son addition avec 1 interdit toute annulation du polynôme.
Interprétation du résultat. Le résultat signifie que l’équation ne possède aucune solution réelle, et non que la fonction puissance n’est pas définie.
Exercice 24 — Question 05. Résoudre \(7^x=3^{x^2}\)
\[ 7^x=3^{x^2}. \]Afficher la correction — Exercice 24 — Question 05
Repère de cours et stratégie. Les deux bases sont différentes, mais les deux membres sont toujours positifs. Le logarithme permet de transformer l’équation en un produit nul après factorisation ; il ne faut surtout pas diviser par x, car x = 0 pourrait être une solution.
Conditions et vigilance. On garde donc le facteur x et on utilise la règle du produit nul pour obtenir toutes les solutions.
On applique le logarithme népérien :
\[ x\ln7=x^2\ln3. \]Donc :
\[ x\left(x\ln3-\ln7\right)=0. \]Ainsi :
\[ x=0 \]ou :
\[ x\ln3=\ln7. \]Vérification de la démarche. La factorisation évite d’écarter la solution nulle. Elle conduit à deux possibilités qui doivent être conservées.
Interprétation du résultat. L’ensemble solution contient bien deux valeurs : x=0 et la valeur issue de l’égalité des logarithmes.
Exercice 24 — Question 06. Résoudre \(9^x-3^{x+1}-54=0\)
\[ 9^x-3^{x+1}-54=0. \]Afficher la correction — Exercice 24 — Question 06
Repère de cours et stratégie. L’expression est un polynôme du second degré en 3^x, car 9^x=(3^x)^2. Poser t=3^x est naturel, à condition de rappeler que t est strictement positif.
Conditions et vigilance. Après la factorisation, seules les racines positives du polynôme peuvent provenir d’une exponentielle réelle.
Posons :
\[ t=3^x\gt 0. \]Alors :
\[ 9^x=t^2 \qquad\text{et}\qquad 3^{x+1}=3t. \]L’équation devient :
\[ t^2-3t-54=0. \]On factorise :
\[ (t-9)(t+6)=0. \]Comme \(t\gt 0\), on conserve seulement :
\[ t=9. \]Donc :
\[ 3^x=9=3^2. \]Vérification de la démarche. Le changement d’inconnue a produit une racine négative, mais une puissance 3^x reste positive pour tout réel x.
Interprétation du résultat. La seconde racine du trinôme est exclue à cause de la positivité de 3^x. Il reste exactement une solution réelle.
Exercice 24 — Question 07. Résoudre \(5^{2x+2}-126\times5^{x+1}+125=0\)
\[ 5^{2x+2}-126\times5^{x+1}+125=0. \]Afficher la correction — Exercice 24 — Question 07
Repère de cours et stratégie. Les exposants 2x+2 et x+1 sont liés par 2x+2=2(x+1). Nous posons donc t=5^{x+1}>0, ce qui transforme l’équation en un trinôme ordinaire.
Conditions et vigilance. La dernière étape consiste à remonter de t à x en comparant des puissances de base 5.
Posons :
\[ t=5^{x+1}\gt 0. \]Alors :
\[ 5^{2x+2}=t^2. \]L’équation devient :
\[ t^2-126t+125=0. \]On factorise :
\[ (t-1)(t-125)=0. \]Donc :
\[ t=1 \qquad\text{ou}\qquad t=125. \]Premier cas :
\[ 5^{x+1}=1=5^0 \iff x=-1. \]Deuxième cas :
\[ 5^{x+1}=125=5^3 \iff x=2. \]Vérification de la démarche. Cette fois, les deux racines du trinôme sont strictement positives : elles correspondent chacune à une valeur réelle de x.
Interprétation du résultat. Les deux valeurs de t autorisées donnent deux solutions distinctes, que l’on peut vérifier directement dans l’équation initiale.
Exercice 24 — Question 08. Résoudre \(4^{x+1}+2\times4^{-x}=7\)
\[ 4^{x+1}+2\times4^{-x}=7. \]Afficher la correction — Exercice 24 — Question 08
Repère de cours et stratégie. Une même puissance intervient avec l’exposant x et son opposé −x. En posant t=4^x>0, nous obtenons 4^{-x}=1/t. La positivité de t justifie la multiplication par t pour éliminer le dénominateur.
Conditions et vigilance. Le trinôme peut admettre deux racines : nous devons contrôler leur positivité avant de prendre leurs logarithmes.
Posons :
\[ t=4^x\gt 0. \]Alors :
\[ 4^{x+1}=4t \qquad\text{et}\qquad 4^{-x}=\frac1t. \]L’équation devient :
\[ 4t+\frac2t=7. \]Comme \(t\gt 0\), on multiplie par \(t\) :
\[ 4t^2-7t+2=0. \]Le discriminant vaut :
\[ \Delta=49-32=17. \]Les deux racines sont :
\[ t_1=\frac{7-\sqrt{17}}8 \qquad\text{et}\qquad t_2=\frac{7+\sqrt{17}}8. \]Elles sont toutes les deux strictement positives. Donc :
\[ 4^x=t_1 \qquad\text{ou}\qquad 4^x=t_2. \]Vérification de la démarche. Les deux valeurs de t sont admissibles, car 7 est supérieur à √17. Le logarithme permet de revenir à x.
Interprétation du résultat. Les deux logarithmes correspondent à deux racines positives distinctes du trinôme ; aucune solution admissible n’a été écartée.
Exercice 24 — Question 09. Résoudre \(100^{x-\frac12}-12\times10^{x-1}+2=0\)
\[ 100^{x-\frac12} - 12\times10^{x-1} + 2 = 0. \]Afficher la correction — Exercice 24 — Question 09
Repère de cours et stratégie. Les bases 100 et 10 sont des puissances d’une même base. Le changement t=10^{x−1}>0 doit être effectué après avoir écrit correctement 100^{x−1/2} sous la base 10.
Conditions et vigilance. Le facteur 10 devant t² joue un rôle essentiel : une mauvaise conversion ferait changer les solutions.
Posons :
\[ t=10^{x-1}\gt 0. \]On a :
\[ 100^{x-\frac12} = 10^{2x-1} = 10t^2. \]L’équation devient :
\[ 10t^2-12t+2=0. \]En divisant par \(2\) :
\[ 5t^2-6t+1=0. \]On factorise :
\[ (5t-1)(t-1)=0. \]Donc :
\[ t=\frac15 \qquad\text{ou}\qquad t=1. \]Si \(10^{x-1}=1\), alors \(x=1\).
Si \(10^{x-1}=\dfrac15\), alors :
\[ 10^x=2. \]Donc :
\[ x=\frac{\ln2}{\ln10}. \]Vérification de la démarche. Le passage de t à x exige de revenir à 10^{x−1} et non directement à 10^x : cette précision évite un décalage de 1.
Interprétation du résultat. Les deux valeurs vérifient l’équation initiale. La substitution a permis de ramener des puissances de 100 et de 10 à un trinôme.
Exercice 24 — Question 10. Résoudre \(7^{x+2}-7^{-x-1}=6\)
\[ 7^{x+2}-7^{-x-1}=6. \]Afficher la correction — Exercice 24 — Question 10
Repère de cours et stratégie. Les deux exposants x+2 et −x−1 se réécrivent facilement à partir de x+1. Posons t=7^{x+1}>0 ; l’équation devient une équation avec t et 1/t, puis un trinôme.
Conditions et vigilance. La condition t>0 permettra d’écarter immédiatement la racine négative du trinôme.
Posons :
\[ t=7^{x+1}\gt 0. \]Alors :
\[ 7^{x+2}=7t \qquad\text{et}\qquad 7^{-x-1}=\frac1t. \]L’équation devient :
\[ 7t-\frac1t=6. \]Comme \(t\gt 0\), on multiplie par \(t\) :
\[ 7t^2-6t-1=0. \]On factorise :
\[ (7t+1)(t-1)=0. \]Comme \(t\gt 0\), on conserve \(t=1\). Donc :
\[ 7^{x+1}=1=7^0. \]Vérification de la démarche. Le trinôme se factorise sans calcul de discriminant ; la contrainte t>0 élimine la valeur −1/7.
Interprétation du résultat. La valeur x=−1 convient puisque 7−1=6. La racine négative rejetée ne peut être une puissance de 7.
Exercice 24 — Question 11. Résoudre \(100^{2x}-10^{2x+1}+9=0\)
\[ 100^{2x}-10^{2x+1}+9=0. \]Afficher la correction — Exercice 24 — Question 11
Repère de cours et stratégie. Pour obtenir un polynôme, il faut reconnaître que 100^{2x}=(10^{2x})² et 10^{2x+1}=10·10^{2x}. Le choix t=10^{2x}>0 rend tous les termes compatibles.
Conditions et vigilance. Les racines du trinôme seront ensuite traduites en solutions de l’équation initiale, sans oublier que l’exposant est 2x.
Posons :
\[ t=10^{2x}\gt 0. \]Alors :
\[ 100^{2x}=10^{4x}=t^2 \]et :
\[ 10^{2x+1}=10t. \]L’équation devient :
\[ t^2-10t+9=0. \]On factorise :
\[ (t-1)(t-9)=0. \]Donc \(t=1\) ou \(t=9\).
Si \(10^{2x}=1\), alors \(x=0\).
Si \(10^{2x}=9=3^2\), alors :
\[ 2x\ln10=2\ln3. \]Donc :
\[ x=\frac{\ln3}{\ln10}. \]Vérification de la démarche. Pour la racine t=9, on identifie 10^{2x} à 3² : les deux membres étant strictement positifs, le logarithme est applicable.
Interprétation du résultat. Le retour à l’exposant 2x donne bien les solutions 0 et ln3/ln10.
Exercice 24 — Question 12. Résoudre \(2^{2x}-6^x=2\times3^{2x}\)
\[ 2^{2x}-6^x=2\times3^{2x}. \]Afficher la correction — Exercice 24 — Question 12
Repère de cours et stratégie. Le produit 6^x combine les bases 2 et 3. Comme 3^{2x}>0 pour tout x, nous pouvons diviser par cette quantité, obtenir uniquement des puissances de 2/3, puis poser t=(2/3)^x>0.
Conditions et vigilance. Après ce changement, l’équation polynomiale devient très simple, mais il faut toujours écarter la racine négative.
Comme \(3^{2x}\gt 0\), on divise l’équation par \(3^{2x}\) :
\[ \left(\frac23\right)^{2x} - \left(\frac23\right)^x = 2. \]Posons :
\[ t=\left(\frac23\right)^x\gt 0. \]L’équation devient :
\[ t^2-t-2=0. \]On factorise :
\[ (t-2)(t+1)=0. \]Comme \(t\gt 0\), on conserve seulement \(t=2\). Donc :
\[ \left(\frac23\right)^x=2. \]En appliquant le logarithme népérien :
\[ x\ln\left(\frac23\right)=\ln2. \]Vérification de la démarche. La nouvelle base 2/3 est positive et différente de 1, ce qui garantit une solution réelle unique une fois t=2 établi.
Interprétation du résultat. Puisque 0<2/3<1, le logarithme du dénominateur est négatif ; la solution de cette question est donc négative.
Exercice 25 — Équations à base variable
Exercice 25 — Question 01. Résoudre \(2\times3^{-2x+1}+\sqrt3\times3^{-x+1}=2\)
\[ 2\times3^{-2x+1} + \sqrt3\times3^{-x+1} = 2. \]Afficher la correction — Exercice 25 — Question 01
Repère de cours et stratégie. Les deux puissances contiennent −x et −2x. En posant t=3^{−x}>0, les deux termes deviennent respectivement proportionnels à t² et à t ; le radical √3 est simplement un coefficient réel positif.
Conditions et vigilance. Le discriminant du trinôme est positif : la sélection des racines utilisera ensuite la condition t>0.
Posons :
\[ t=3^{-x}\gt 0. \]Alors :
\[ 3^{-2x+1}=3t^2 \qquad\text{et}\qquad 3^{-x+1}=3t. \]L’équation devient :
\[ 6t^2+3\sqrt3\,t-2=0. \]Le discriminant vaut :
\[ \Delta = (3\sqrt3)^2-4\times6\times(-2) = 75. \]Donc :
\[ \sqrt\Delta=5\sqrt3. \]Les racines sont :
\[ t_1= \frac{-3\sqrt3-5\sqrt3}{12}\lt 0 \]et :
\[ t_2= \frac{-3\sqrt3+5\sqrt3}{12} = \frac{\sqrt3}{6}. \]Comme \(t\gt 0\), on conserve :
\[ 3^{-x}=\frac{\sqrt3}{6}. \]En prenant les inverses :
\[ 3^x=2\sqrt3. \]Vérification de la démarche. Le discriminant positif donne deux racines de signes opposés ; seule la racine positive peut égaler 3^{−x}.
Interprétation du résultat. L’unique valeur retenue respecte t>0 et revient à l’égalité 3^x=2√3.
Exercice 25 — Question 02. Résoudre \(x^{\sqrt x}=(\sqrt x)^x\)
\[ x^{\sqrt x}=(\sqrt x)^x. \]Afficher la correction — Exercice 25 — Question 02
Repère de cours et stratégie. Ici la base x dépend de l’inconnue. Les puissances réelles imposent d’abord x>0. Attention : x^u=x^v n’entraîne u=v que si la base x est différente de 1 ; le cas x=1 doit donc être traité séparément.
Conditions et vigilance. Après cette distinction, l’égalité des exposants se ramène à une équation sur √x.
Pour que les puissances réelles soient définies, il faut \(x\gt 0\).
Comme \(\sqrt x=x^{1/2}\), on a :
\[ (\sqrt x)^x=x^{\frac x2}. \]L’équation devient :
\[ x^{\sqrt x}=x^{\frac x2}. \]Premier cas : \(x=1\).
Alors les deux membres valent \(1\), donc \(x=1\) est solution.
Deuxième cas : \(x\gt 0\) et \(x\ne1\).
La fonction \(t\mapsto x^t\) est injective. Donc :
\[ \sqrt x=\frac x2. \]Posons \(y=\sqrt x\gt 0\). Alors \(x=y^2\), et :
\[ y=\frac{y^2}{2}. \]Donc :
\[ y(y-2)=0. \]Comme \(y\gt 0\), on obtient \(y=2\), d’où \(x=4\).
Vérification de la démarche. L’exposant n’est identifiable que dans le second cas. L’utilisation de y=√x facilite ensuite la résolution en respectant y>0.
Interprétation du résultat. Les deux valeurs x=1 et x=4 satisfont le domaine x>0. L’étude séparée de la base 1 était indispensable.
Exercice 25 — Question 03. Résoudre \(4^x-3^{x-\frac12}=3^{x+\frac12}-2^{2x-1}\)
\[ 4^x-3^{x-\frac12} = 3^{x+\frac12}-2^{2x-1}. \]Afficher la correction — Exercice 25 — Question 03
Repère de cours et stratégie. Les bases 4 et 2 sont liées : 2^{2x−1}=4^x/2. De même, les deux termes de base 3 possèdent un facteur commun. L’idée est de regrouper ces termes pour aboutir à une puissance unique de 4/3.
Conditions et vigilance. La base 4/3 est strictement positive et différente de 1 : l’identification finale des exposants sera donc légitime.
On regroupe les termes de mêmes bases :
\[ 4^x+2^{2x-1} = 3^{x-\frac12}+3^{x+\frac12}. \]Or :
\[ 2^{2x-1}=\frac12\,4^x. \]Donc le membre de gauche vaut :
\[ \frac32\,4^x. \]Le membre de droite vaut :
\[ \begin{aligned} 3^{x-\frac12} + 3^{x+\frac12} &= 3^{x-\frac12}(1+3)\\ &= 4\,3^{x-\frac12}. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \frac32\,4^x = 4\,3^{x-\frac12}. \]En divisant par \(3^x\gt 0\) :
\[ \frac32 \left(\frac43\right)^x = \frac4{\sqrt3}. \]Donc :
\[ \left(\frac43\right)^x = \frac8{3\sqrt3}. \]Or :
\[ \frac8{3\sqrt3} = \left(\frac43\right)^{\frac32}. \]La base \(\dfrac43\) étant différente de \(1\), on obtient :
Vérification de la démarche. Le regroupement par base aboutit à (4/3)^x ; la dernière étape consiste à écrire la constante avec cette même base.
Interprétation du résultat. Nous obtenons une solution unique parce que la fonction exponentielle de base 4/3 est injective.
Exercice 25 — Question 04. Résoudre \(x^{x+1}=x^{\frac6x}\)
\[ x^{x+1}=x^{\frac6x}. \]Afficher la correction — Exercice 25 — Question 04
Repère de cours et stratégie. La présence de x au dénominateur et comme base d’une puissance réelle impose x>0. Comme dans toute équation x^u=x^v, le cas x=1 est particulier et ne doit pas être perdu en égalisant les exposants.
Conditions et vigilance. Lorsque x>0 et x≠1, on peut appliquer l’injectivité, puis résoudre une équation polynomiale.
Pour que les deux puissances réelles soient définies et pour que \(\dfrac6x\) existe, il faut \(x\gt 0\).
Premier cas : \(x=1\).
Les deux membres valent \(1\), donc \(x=1\) est solution.
Deuxième cas : \(x\gt 0\) et \(x\ne1\).
La fonction \(t\mapsto x^t\) est injective. Donc :
\[ x+1=\frac6x. \]Comme \(x\gt 0\), on multiplie par \(x\) :
\[ x^2+x-6=0. \]On factorise :
\[ (x+3)(x-2)=0. \]Dans le domaine \(x\gt 0\), on conserve seulement \(x=2\).
Vérification de la démarche. L’égalité d’exposants donne une équation du second degré, mais sa racine négative n’appartient pas au domaine x>0.
Interprétation du résultat. Les seules solutions admissibles sont 1 et 2 ; la racine −3 est exclue dès l’étude du domaine.
Exercice 25 — Question 05. Résoudre \(2^{2x-1}+3^x+4^{x-\frac12}-9^{\frac x2+1}=0\)
\[ 2^{2x-1} + 3^x + 4^{x-\frac12} - 9^{\frac x2+1} = 0. \]Afficher la correction — Exercice 25 — Question 05
Repère de cours et stratégie. Les puissances de 2 et 4 peuvent être ramenées à 4^x ; de même, 9^{x/2+1} est un multiple de 3^x. Ce regroupement fait disparaître plusieurs termes et transforme l’équation en une comparaison de deux exponentielles.
Conditions et vigilance. Comme 3^x est toujours strictement positif, la division correspondante n’élimine aucune solution.
On transforme chaque terme :
\[ 2^{2x-1} = \frac12\,4^x. \]De même :
\[ 4^{x-\frac12} = \frac12\,4^x. \]Enfin :
\[ 9^{\frac x2+1} = 9\times9^{\frac x2} = 9\times3^x. \]L’équation devient :
\[ \frac12\,4^x + 3^x + \frac12\,4^x - 9\times3^x = 0. \]Donc :
\[ 4^x-8\times3^x=0. \]Comme \(3^x\gt 0\), on divise par \(3^x\) :
\[ \left(\frac43\right)^x=8. \]En appliquant le logarithme népérien :
\[ x\ln\left(\frac43\right)=\ln8. \]Vérification de la démarche. Tous les termes ont maintenant été regroupés par bases 4 et 3. Une division par 3^x permet de passer à une seule exponentielle.
Interprétation du résultat. La solution est unique, car (4/3)^x est strictement croissante et le second membre vaut 8>0.
Exercice 25 — Question 06. Résoudre \(x^{\sqrt x}=\left(\sqrt[4]{x}\right)^{1+\sqrt x}\)
\[ x^{\sqrt x} = \left(\sqrt[4]{x}\right)^{1+\sqrt x}. \]Afficher la correction — Exercice 25 — Question 06
Repère de cours et stratégie. La base variable impose x>0 et oblige à distinguer x=1. La racine quatrième devient x^{1/4} : on peut ensuite identifier les exposants pour x>0 et x≠1.
Conditions et vigilance. On aboutit à une équation du premier degré en √x ; sa solution doit enfin respecter x>0.
Pour que les puissances réelles soient définies, il faut \(x\gt 0\).
Comme \(\sqrt[4]{x}=x^{1/4}\), on a :
\[ \left(\sqrt[4]{x}\right)^{1+\sqrt x} = x^{\frac{1+\sqrt x}{4}}. \]L’équation devient :
\[ x^{\sqrt x} = x^{\frac{1+\sqrt x}{4}}. \]Premier cas : \(x=1\).
Les deux membres valent \(1\), donc \(x=1\) est solution.
Deuxième cas : \(x\gt 0\) et \(x\ne1\).
La fonction \(t\mapsto x^t\) est injective. Donc :
\[ \sqrt x = \frac{1+\sqrt x}{4}. \]Ainsi :
\[ 4\sqrt x=1+\sqrt x. \]Donc :
\[ 3\sqrt x=1. \]Par conséquent :
\[ \sqrt x=\frac13 \qquad\text{et}\qquad x=\frac19. \]Vérification de la démarche. Dans le second cas, l’égalité des exposants est une simple équation en √x. Il restera à réunir sa solution et x=1.
Interprétation du résultat. Les solutions x=1/9 et x=1 sont positives ; elles proviennent de deux cas distincts et vérifient l’équation d’origine.
Méthodes à retenir
Première situation : bases constantes et différentes. Avant de prendre les logarithmes, on vérifie que les deux membres sont strictement positifs. Le logarithme transforme alors les puissances en produits, puis l’on résout une équation linéaire ou polynomiale. Ne jamais diviser par une expression contenant l’inconnue sans avoir d’abord étudié le cas où elle s’annule.
Deuxième situation : équation polynomiale en une puissance. On identifie un terme tel que \(a^x\), \(a^{x+1}\) ou \(a^{2x}\), puis on pose une nouvelle inconnue \(t>0\). Après la résolution du polynôme, seules les racines positives sont admissibles ; on revient ensuite à x en utilisant l’injectivité des puissances ou les logarithmes.
Troisième situation : base variable. La condition \(x>0\) permet de définir les puissances réelles. On vérifie séparément \(x=1\), car cette base est exceptionnelle : toutes ses puissances valent 1. Pour \(x>0\) et \(x\ne1\), on identifie les exposants et l’on résout l’équation obtenue, puis on vérifie que toutes les solutions respectent le domaine.
Dans tous les cas, la réponse finale doit être un ensemble de solutions réelles justifié, et chaque solution retenue doit correspondre à une valeur autorisée dans l’équation initiale.
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