Concours ENSA Maroc 2021 — Énoncé de mathématiques

Concours d’accès en 1^ère année des ENSA Maroc — Session juillet 2021 — Épreuve de mathématiques — Durée : 1 h 30 min.

Cette page propose l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Maroc 2021. L’épreuve comporte 20 questions sous forme de QCM.

Voir la correction ENSA Maroc 2021 Guide Concours ENSA Maroc

Remarque pédagogique : cet énoncé est transcrit à partir de versions scannées du concours ENSA Maroc 2021. Les questions dont la notation est peu lisible ou potentiellement incohérente sont signalées directement.

Signalement important : la question 3 est à traiter avec prudence : avec la lecture \(N=7^{21}\times16^{250}\), le nombre de diviseurs ne correspond pas aux propositions affichées.

Consignes

Calculatrices non autorisées.
Téléphones, smartwatches et tous types de documents non autorisés.
L’épreuve comporte 20 questions.
Chaque question propose quatre réponses : A, B, C et D.

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Une condition nécessaire, pas forcément suffisante, pour réussir le concours de l’ENSA est :

A) Avoir répondu correctement à tout le QCM
B) Avoir au plus \(25\%\) de réponses fausses
C) Avoir au moins \(50\%\) de réponses correctes
D) Avoir passé le concours

Question 2

Le 17 juillet 2021, jour du concours de l’ENSA, est un samedi. Quel jour de la semaine sera le 29 février 2024 ?

A) mardi
B) jeudi
C) samedi
D) lundi

Question 3

Le nombre de diviseurs de :

\[ N=7^{21}\times16^{250} \]

est :

Attention : dans les versions consultées, l’expression de \(N\) ou les choix proposés semblent poser problème. Avec la lecture \(N=7^{21}\times16^{250}\), le nombre de diviseurs ne correspond pas aux propositions affichées. À vérifier avec une copie officielle plus nette.

A) \(17600\)
B) \(17680\)
C) \(17820\)
D) \(17901\)

Question 4

Soient \(x\) et \(y\) deux réels non nuls, inverses l’un de l’autre, tels que la somme du carré de leur somme avec la somme de leurs carrés est égale à \(10\). Le carré du nombre \(x\) vaut :

A) \(2-\sqrt3\) ou \(2+\sqrt3\)
B) \(1-\sqrt5\) ou \(1+\sqrt5\)
C) \(1-\sqrt3\) ou \(1+\sqrt3\)
D) \(2-\sqrt5\) ou \(2+\sqrt5\)

Question 5

Le produit :

\[ \prod_{k=0}^{9}\sqrt[3\cdot2^k]{5} \]

est égal à :

Remarque : la notation des exposants dans cette question est peu lisible dans les versions scannées. L’écriture ci-dessous conserve la lecture la plus cohérente après comparaison.

A) \(\sqrt[3]{5^{\frac{511}{256}}}\)
B) \(\sqrt[3]{5^{\frac{1023}{256}}}\)
C) \(\sqrt[3]{5^{\frac{1023}{512}}}\)
D) \(\sqrt[3]{5^{\frac{511}{1024}}}\)

Question 6

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty}3^n e^{-3n}. \]

A) \(1\)
B) \(0\)
C) \(+\infty\)
D) \(e\)

Question 7

En remarquant que pour tout \(n\in\mathbb N\), le nombre :

\[ (3+\sqrt5)^n+(3-\sqrt5)^n \]

est un entier pair, calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty}\sin\left((3+\sqrt5)^n\pi\right). \]

A) \(1\)
B) \(-1\)
C) \(0\)
D) \(+\infty\)

Question 8

Calculer :

\[ \lim_{x\to\frac{\pi}{6}} \frac{\sqrt3\sin x-\cos x}{x-\frac{\pi}{6}}. \]

A) \(0\)
B) \(1\)
C) \(2\)
D) \(+\infty\)

Question 9

Calculer :

\[ \lim_{x\to0^+}x^{\frac1{\ln(3x)}}. \]

A) \(e\)
B) \(0\)
C) \(\ln3\)
D) \(1+e\)

Question 10

Soit \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) une fonction \(T\)-périodique avec \(T\gt0\), telle que :

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x) \]

existe dans \(\mathbb R^*\). Alors :

A) \(f\) est strictement croissante
B) \(f\) est strictement décroissante
C) \(f\) est la fonction nulle
D) \(f\) est une constante non nulle

Question 11

Soit la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)= \begin{cases} x^2+x^3\cos\left(\frac1x\right), & x\ne0,\\ 0, & x=0. \end{cases} \]

Soit \(f'\) la dérivée d’ordre \(1\) de \(f\). Alors :

A) \(f'(0)=1\)
B) \(f'(0)=0\)
C) \(f'(0)=2\)
D) \(f\) n’est pas dérivable en \(0\)

Question 12

Pour la même fonction \(f\) de la question 11, on note \(f''\) sa dérivée d’ordre \(2\). Alors :

A) \(f''(0)=0\)
B) \(f''(0)=1\)
C) \(f''(0)=2\)
D) \(f\) n’est pas deux fois dérivable en \(0\)

Question 13

L’aire de la région délimitée par la courbe d’équation :

\[ y=\cos(\ln x) \]

et les droites d’équations :

\[ x=e^{\frac{\pi}{2}} \qquad \text{et} \qquad x=e^{\pi} \]

est égale à :

A) \(\frac12\left(e^\pi+e^{\frac{\pi}{2}}\right)\)
B) \(e^\pi-e^{\frac{\pi}{2}}\)
C) \(e^\pi+e^{\frac{\pi}{2}}\)
D) \(e^\pi\)

Question 14

Soit \(f:[0,\alpha]\to\mathbb R\) une fonction continue telle que :

\[ f(x)\ne -1 \]

et :

\[ f(x)f(\alpha-x)=1. \]

Alors :

\[ \int_0^\alpha \frac1{1+f(x)}\,dx = \]

A) \(\frac{\alpha}{2}\)
B) \(\alpha\)
C) \(1+\alpha\)
D) \(\frac1{1+\alpha}\)

Question 15

Soit la fonction réelle :

\[ f(x)=e^{-x}\sin x. \]

Si \(f^{(4)}\) désigne la dérivée d’ordre \(4\), alors :

\[ f^{(4)}(x)= \]

A) \(-f(x)\)
B) \(-4f(x)\)
C) \(4f(x)\)
D) \(-3f(x)\)

Question 16

Pour la même fonction \(f\) de la question 15 :

\[ \int_0^\pi f(x)\,dx = \]

A) \(\frac13(1-e^{-\pi})\)
B) \(\frac12(1+e^{-\pi})\)
C) \(\frac14(1-e^{-\pi})\)
D) \(\frac15(1+e^{-\pi})\)

Question 17

Soit \(u\) la solution de l’équation à variable complexe :

\[ z\overline z+4iz=-3+4i. \]

Alors :

A) \(\operatorname{Re}(u)\times\operatorname{Im}(u)=2\)
B) \(\operatorname{Re}(u)\times\operatorname{Im}(u)=1\)
C) \(\operatorname{Re}(u)+\operatorname{Im}(u)=2\)
D) \(u\) est un imaginaire pur

Question 18

Soient \(z_1\) et \(z_2\) les solutions de l’équation à variable complexe :

\[ z^2-2\overline z+3=0. \]

Alors :

\[ \operatorname{Re}\left(\frac{z_1}{z_2}\right)= \]

A) \(-\frac{2\sqrt6}{7}\)
B) \(\frac{2\sqrt6}{7}\)
C) \(\frac57\)
D) \(-\frac57\)

Question 19

Soient \(\theta\) un nombre réel non nul et \(z\) un nombre complexe tel que :

\[ z=\cos^2\theta+i\sin\theta\cos\theta. \]

La partie réelle du nombre \(z^{-3}\) est :

A) \(\frac{\cos\theta}{\sin^3\theta}\)
B) \(\frac{\sin3\theta}{\sin^3\theta}\)
C) \(\frac{\cos3\theta}{\cos^3\theta}\)
D) \(\frac{\sin\theta}{\cos^3\theta}\)

Question 20

Le nombre \(\cos(5\theta)\) est égal à :

A) \(\cos^5\theta+10\cos^3\theta\sin^2\theta+5\cos\theta\sin^4\theta\)
B) \(\cos^5\theta+\cos^3\theta\sin^2\theta+10\cos\theta\sin^4\theta\)
C) \(\cos^5\theta-10\cos^3\theta\sin^2\theta+\cos\theta\sin^4\theta\)
D) \(\cos^5\theta-10\cos^3\theta\sin^2\theta+5\cos\theta\sin^4\theta\)

Conseil de travail

Avant de consulter la correction, il est conseillé de traiter l’énoncé seul, en temps limité, puis de comparer sa méthode avec la correction détaillée.

Important : les modalités, dates, conditions d’accès et consignes officielles peuvent changer d’une année à l’autre. L’élève doit toujours consulter l’annonce officielle de l’année concernée.

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