Concours ENSA Maroc 2021 — Énoncé de mathématiques
Concours d’accès en première année des ENSA Maroc
Juillet 2021 — Épreuve de mathématiques — Durée : 1 h 30 min
Cette annale présente les vingt questions à choix multiples de l’épreuve de mathématiques du concours ENSA Maroc, session de juillet 2021. Elle permet de mobiliser plusieurs domaines du programme du lycée : logique, arithmétique, puissances, limites, dérivabilité, intégration, nombres complexes et trigonométrie. Les questions alternent raisonnement, calcul et choix de propriétés adaptées.
Pour vous entraîner dans des conditions proches de l’épreuve, lisez chaque question jusqu’au bout, relevez les hypothèses et recherchez d’abord la notion du cours concernée. Avant de retenir une réponse, contrôlez le domaine de définition, la cohérence des résultats et les éventuelles valeurs particulières. Ce travail est d’autant plus utile que certaines formulations de l’épreuve demandent une lecture attentive : les précisions mathématiques insérées après les questions concernées montrent comment repérer une erreur de transcription ou une condition manquante, sans confondre le sujet du concours avec son analyse.
Consignes de l’épreuve
Durée : 1 h 30 min. Les calculatrices, téléphones, montres connectées et documents ne sont pas autorisés. L’épreuve comporte vingt questions proposant chacune quatre choix, A, B, C et D. L’énoncé est proposé ici pour permettre un entraînement autonome, sans corrigé systématique des QCM.
Conseil de méthode
Pour un QCM, une réponse vraisemblable ne suffit pas : il faut justifier pourquoi elle répond exactement à la question. Une écriture en facteurs premiers peut résoudre un problème de divisibilité ; une identité trigonométrique peut simplifier une limite ; les conditions de définition peuvent, à elles seules, révéler une difficulté dans l’énoncé. Après votre première tentative, identifiez les étapes qui vous ont posé problème et reprenez la propriété correspondante du cours.
Questions 1 à 5 — Raisonnement, arithmétique et puissances
Pour aborder les premières questions, distinguez les conditions nécessaires et suffisantes, observez les décalages de jours à l’aide d’une périodicité de sept jours et utilisez les décompositions en facteurs premiers. Pour manipuler un produit de racines, pensez à une écriture sous forme de puissances et à la somme des exposants. L’objectif est d’organiser un calcul plutôt que de choisir une proposition par intuition.
Question 1
Une condition nécessaire, pas forcément suffisante, pour réussir le concours de l’ENSA est :
Propositions :
B) Avoir au plus \(25\%\) de réponses fausses
C) Avoir au moins \(50\%\) de réponses correctes
D) Avoir passé le concours
Question 2
Le 17 juillet 2021, jour du concours de l’ENSA, est un samedi. Quel jour de la semaine sera le 29 février 2024 ?
Propositions :
B) jeudi
C) samedi
D) lundi
Question 3
Le nombre de diviseurs de :
\[ N=72^{10}\times162^{50} \]est :
Propositions :
B) \(17680\)
C) \(17820\)
D) \(17901\)
Attention — Lecture et décomposition de l’entier (question 3)
Le nombre à étudier est bien \(N=72^{10}\times162^{50}\). Il faut distinguer la base de la puissance : une écriture qui serait lue \(7^{21}\times16^{250}\) définirait un autre entier et conduirait à un résultat absent des choix.
Rappel de cours. Lorsqu’un entier positif possède la décomposition en facteurs premiers \(N=p^a q^b\), avec \(p\) et \(q\) premiers distincts, son nombre de diviseurs positifs est \((a+1)(b+1)\).
On décompose d’abord les bases de l’expression :
\[ 72=2^3\times3^2,\qquad 162=2\times3^4. \]Par les règles sur les puissances, on obtient :
\[ N=(2^3\times3^2)^{10}(2\times3^4)^{50} =2^{80}\times3^{220}. \]Les exposants de la décomposition permettent alors de calculer le nombre de diviseurs :
\[ d(N)=(80+1)(220+1)=81\times221=17901. \]Conclusion. La proposition D est cohérente avec l’énoncé. La difficulté rencontrée dans une ancienne transcription venait de la confusion entre les chiffres de la base et ceux de l’exposant, et non d’une erreur du résultat du concours.
À retenir. Dans un calcul avec de grandes puissances, vérifiez d’abord la lecture des bases et des exposants, puis factorisez avant de compter les diviseurs.
Question 4
Soient \(x\) et \(y\) deux réels non nuls, inverses l’un de l’autre, tels que la somme du carré de leur somme avec la somme de leurs carrés est égale à \(10\). Le carré du nombre \(x\) vaut :
Propositions :
B) \(1-\sqrt5\) ou \(1+\sqrt5\)
C) \(1-\sqrt3\) ou \(1+\sqrt3\)
D) \(2-\sqrt5\) ou \(2+\sqrt5\)
Question 5
Le produit :
\[ \prod_{k=0}^{9}\sqrt[3\cdot2^k]{5} \]est égal à :
Propositions :
B) \(\sqrt[3]{5^{\frac{1023}{256}}}\)
C) \(\sqrt[3]{5^{\frac{1023}{512}}}\)
D) \(\sqrt[3]{5^{\frac{511}{1024}}}\)
Questions 6 à 10 — Limites et propriétés des fonctions
Pour une limite de suites, identifiez la puissance ou le terme dominant. Dans une expression trigonométrique, un résultat d’arithmétique peut permettre de remplacer un argument très grand par un argument proche de zéro. Une fonction périodique possède une structure particulière qui doit être compatible avec toute limite à l’infini. Vérifiez chaque étape avec les propriétés étudiées au lycée.
Question 6
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}3^n e^{-3n}. \]Propositions :
B) \(0\)
C) \(+\infty\)
D) \(e\)
Question 7
En remarquant que pour tout \(n\in\mathbb N\), le nombre :
\[ (3+\sqrt5)^n+(3-\sqrt5)^n \]est un entier pair, calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}\sin\left((3+\sqrt5)^n\pi\right). \]Propositions :
B) \(-1\)
C) \(0\)
D) \(+\infty\)
Question 8
Calculer :
\[ \lim_{x\to\frac{\pi}{6}} \frac{\sqrt3\sin x-\cos x}{x-\frac{\pi}{6}}. \]Propositions :
B) \(1\)
C) \(2\)
D) \(+\infty\)
Question 9
Calculer :
\[ \lim_{x\to0^+}x^{\frac1{\ln(3x)}}. \]Propositions :
B) \(0\)
C) \(\ln3\)
D) \(1+e\)
Question 10
Soit \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) une fonction \(T\)-périodique avec \(T\gt0\), telle que :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x) \]existe dans \(\mathbb R^*\). Alors :
Propositions :
B) \(f\) est strictement décroissante
C) \(f\) est la fonction nulle
D) \(f\) est une constante non nulle
Questions 11 à 14 — Dérivabilité et intégrales
Pour étudier la dérivabilité en un point où la fonction est définie par morceaux, revenez au taux d’accroissement ; pour la dérivée seconde, étudiez ensuite le taux d’accroissement de la dérivée. Une aire se calcule à partir de l’intégrale d’une fonction positive ou de l’opposé d’une fonction négative. Lorsque l’intégrande dépend de \(f(x)\) et de \(f(\alpha-x)\), recherchez une symétrie de l’intervalle.
Question 11
Soit la fonction \(f\) définie par :
\[ f(x)= \begin{cases} x^2+x^3\cos\left(\frac1x\right), & x\ne0,\\ 0, & x=0. \end{cases} \]Soit \(f'\) la dérivée d’ordre \(1\) de \(f\). Alors :
Propositions :
B) \(f'(0)=0\)
C) \(f'(0)=2\)
D) \(f\) n’est pas dérivable en \(0\)
Question 12
Pour la même fonction \(f\) de la question 11, on note \(f''\) sa dérivée d’ordre \(2\). Alors :
Propositions :
B) \(f''(0)=1\)
C) \(f''(0)=2\)
D) \(f\) n’est pas deux fois dérivable en \(0\)
Question 13
L’aire de la région délimitée par la courbe d’équation :
\[ y=\cos(\ln x) \]et les droites d’équations :
\[ x=e^{\frac{\pi}{2}} \qquad \text{et} \qquad x=e^{\pi} \]est égale à :
Propositions :
B) \(e^\pi-e^{\frac{\pi}{2}}\)
C) \(e^\pi+e^{\frac{\pi}{2}}\)
D) \(e^\pi\)
Attention — Quelle région doit-on mesurer ? (question 13)
L’énoncé cite la courbe et deux droites verticales, mais ne nomme pas l’axe des abscisses. À elles seules, ces trois frontières ne suffisent pas à délimiter une région plane fermée. Pour rendre la demande précise, on comprend naturellement l’aire de la région située entre la courbe, l’axe des abscisses et les deux droites.
Repère de cours. Pour \(x\in[e^{\pi/2},e^\pi]\), on a \(\ln x\in[\pi/2,\pi]\), donc \(\cos(\ln x)\leq0\). Avec l’interprétation précédente, une aire positive s’exprime par :
\[ \mathcal A=-\int_{e^{\pi/2}}^{e^\pi}\cos(\ln x)\,dx. \]À retenir. Avant d’intégrer, identifiez toutes les frontières de la région et vérifiez le signe de la fonction pour ne pas confondre une intégrale algébrique avec une aire géométrique.
Question 14
Soit \(f:[0,\alpha]\to\mathbb R\) une fonction continue telle que :
\[ f(x)\ne -1 \]et :
\[ f(x)f(\alpha-x)=1. \]Alors :
\[ \int_0^\alpha \frac1{1+f(x)}\,dx = \]Propositions :
B) \(\alpha\)
C) \(1+\alpha\)
D) \(\frac1{1+\alpha}\)
Questions 15 et 16 — Dérivées successives et intégrales
Les questions 15 et 16 utilisent la même fonction : elle associe une exponentielle et un sinus. Pour dériver, la formule du produit doit être appliquée avec rigueur, plusieurs fois si nécessaire. Pour intégrer, recherchez une primitive dont la dérivée redonne exactement l’expression initiale, puis appliquez les bornes.
Question 15
Soit la fonction réelle :
\[ f(x)=e^{-x}\sin x. \]Si \(f^{(4)}\) désigne la dérivée d’ordre \(4\), alors :
\[ f^{(4)}(x)= \]Propositions :
B) \(-4f(x)\)
C) \(4f(x)\)
D) \(-3f(x)\)
Question 16
Pour la même fonction \(f\) de la question 15 :
\[ \int_0^\pi f(x)\,dx = \]Propositions :
B) \(\frac12(1+e^{-\pi})\)
C) \(\frac14(1-e^{-\pi})\)
D) \(\frac15(1+e^{-\pi})\)
Questions 17 à 20 — Nombres complexes et trigonométrie
Une équation comportant \(\overline z\) se traite naturellement en écrivant \(z=x+iy\), avec \(x,y\in\mathbb R\), puis en séparant les parties réelle et imaginaire. Les puissances de nombres complexes nécessitent de vérifier que la base est non nulle lorsque l’exposant est négatif. Les identités trigonométriques permettent enfin d’étudier les puissances de \(\cos\theta+i\sin\theta\).
Question 17
Soit \(u\) la solution de l’équation à variable complexe :
\[ z\overline z+4iz=-3+4i. \]Alors :
Propositions :
B) \(\operatorname{Re}(u)\times\operatorname{Im}(u)=1\)
C) \(\operatorname{Re}(u)+\operatorname{Im}(u)=2\)
D) \(u\) est un imaginaire pur
Question 18
Soient \(z_1\) et \(z_2\) les solutions de l’équation à variable complexe :
\[ z^2-2\overline z+3=0. \]Alors :
\[ \operatorname{Re}\left(\frac{z_1}{z_2}\right)= \]Propositions :
B) \(\frac{2\sqrt6}{7}\)
C) \(\frac57\)
D) \(-\frac57\)
Question 19
Soient \(\theta\) un nombre réel non nul et \(z\) un nombre complexe tel que :
\[ z=\cos^2\theta+i\sin\theta\cos\theta. \]La partie réelle du nombre \(z^{-3}\) est :
Propositions :
B) \(\frac{\sin3\theta}{\sin^3\theta}\)
C) \(\frac{\cos3\theta}{\cos^3\theta}\)
D) \(\frac{\sin\theta}{\cos^3\theta}\)
Attention — Condition nécessaire pour une puissance négative (question 19)
L’énoncé demande la partie réelle de \(z^{-3}\) et suppose seulement \(\theta\ne0\). Cette condition est insuffisante, car une puissance négative n’est définie que si le nombre complexe est non nul.
Rappel de cours. On peut factoriser le nombre donné :
\[ z=\cos\theta(\cos\theta+i\sin\theta). \]Le second facteur a pour module 1. Ainsi, \(z=0\) exactement lorsque \(\cos\theta=0\). Par exemple, \(\theta=\pi/2\) est un réel non nul autorisé par la formulation, mais donne \(z=0\), donc \(z^{-3}\) n’existe pas.
Condition à ajouter pour rendre le calcul possible :
\[ \cos\theta\ne0 \quad\text{soit}\quad \theta\notin\left\{\frac\pi2+k\pi\,;\,k\in\mathbb Z\right\}. \]Sous cette condition, on peut utiliser la forme trigonométrique pour obtenir :
\[ \operatorname{Re}(z^{-3}) =\frac{\cos(3\theta)}{\cos^3\theta}. \]Conclusion. La proposition C convient sur le domaine où l’expression demandée existe. Le défaut de l’énoncé est l’absence d’une condition de définition, non la formule elle-même.
À retenir. Avant de calculer un inverse ou une puissance négative, vérifiez toujours que le nombre n’est pas nul.
Question 20
Le nombre \(\cos(5\theta)\) est égal à :
Propositions :
B) \(\cos^5\theta+5\cos^3\theta\sin^2\theta +10\cos\theta\sin^4\theta\)
C) \(\cos^5\theta-10\cos^3\theta\sin^2\theta +\cos\theta\sin^4\theta\)
D) \(\cos^5\theta-10\cos^3\theta\sin^2\theta +5\cos\theta\sin^4\theta\)
Un dernier contrôle avant de terminer
Vérifiez que chaque réponse choisie respecte les hypothèses de sa question. Si un choix paraît impossible, recherchez d’abord une erreur de signe, de lecture d’exposant ou de domaine de définition. Les QCM sont aussi un entraînement à la précision du langage mathématique.
Poursuivre votre préparation au concours ENSA
Cette annale permet de relier plusieurs chapitres du programme dans un même exercice de réflexion. La maîtrise des propriétés usuelles doit s’accompagner d’une lecture rigoureuse des données : comprendre ce qui est demandé, vérifier les conditions et interpréter le résultat. Refaire l’épreuve après quelques jours aide à mesurer les progrès et à consolider les méthodes réellement utiles.
Parcours Maths Maroc — PMM
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