Correction de l’exercice 26 — Fonctions puissances
Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques
Équations exponentielles, changement d’inconnue et unicité d’une solution
Introduction
Résoudre une équation exponentielle ne signifie pas toujours prendre le logarithme de ses deux membres. Selon la structure de l’équation, un encadrement, un changement d’inconnue ou une étude de fonction peuvent être plus efficaces. L’exercice 26 du manuel Al Moufid, destiné à la 2e Bac Sciences Mathématiques, réunit ces trois démarches dans un même ensemble. La première question met en relation une puissance et une fonction trigonométrique ; la deuxième demande d’établir l’existence de deux solutions dont le produit est imposé ; la troisième associe la recherche d’une solution connue à une preuve d’unicité.
Nous suivrons systématiquement la progression suivante : identifier la propriété du cours, vérifier ses conditions, expliquer le choix de la méthode, effectuer les calculs et interpréter le résultat. Cette démarche permet de comprendre non seulement les réponses obtenues, mais aussi pourquoi chaque raisonnement est valable et dans quelles situations il pourra être réutilisé.
Repère de cours — Fonctions puissances et exponentielles
Si \(a>0\) et \(a\ne1\), la fonction \(x\mapsto a^x\) est définie et strictement positive sur \(\mathbb R\). Elle est strictement croissante lorsque \(a>1\), et strictement décroissante lorsque \(0<a<1\). En particulier, elle est injective :
\[a^u=a^v\quad\Longleftrightarrow\quad u=v\qquad(a>0,\ a\ne1).\]La formule de dérivation \((a^x)'=a^x\ln a\) montre également que le signe de la dérivée dépend de celui de \(\ln a\). Ainsi, pour \(0<a<1\), les puissances \(a^x\) restent positives tandis que leurs dérivées sont strictement négatives.
Lorsqu’une équation est quadratique en \(a^x\), on peut poser \(t=a^x>0\). Il faudra résoudre l’équation algébrique, retenir uniquement les racines admissibles, puis revenir à \(x\).
À retenir. Pour démontrer qu’une équation possède exactement une solution, on peut trouver d’abord une solution par substitution, puis prouver qu’une fonction associée est strictement monotone. L’existence et l’unicité sont deux affirmations distinctes.
Exercice 26 — Résolution d’équations exponentielles
1) Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation suivante :
\[ 2^{\sin^2x}=\cos x. \]2) Soit \(a\) le nombre :
\[ a=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}. \]Montrer que l’équation
\[ a^{2x}-3a^x+1=0 \]admet deux solutions réelles \(\alpha\) et \(\beta\) telles que :
\[ \alpha\beta=-1. \]3) On considère l’équation \((E)\) suivante :
\[ (E):\qquad 15\times4^x+8\left(5^x+6^x-7^x\right)=0. \]Vérifier que \(4\) est une solution de \((E)\), puis la résoudre.
Question 1. Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation.
\[2^{\sin^2x}=\cos x.\]Afficher la correction — Exercice 26 / Question 1
Que demande la question ? Nous devons trouver tous les réels pour lesquels une puissance de 2 est égale au cosinus. Le premier membre est toujours supérieur ou égal à 1, tandis que le second ne dépasse jamais 1. Il faut donc exploiter ces deux encadrements avant d’envisager des logarithmes ou de transformer des fonctions trigonométriques.
Repère de cours et conditions. Puisque \(2>1\), la fonction \(t\mapsto 2^t\) est strictement croissante et \(2^0=1\). D’autre part, la propriété trigonométrique \(-1\leq\cos x\leq1\) vaut pour tout réel. L’équation est définie pour chaque \(x\in\mathbb R\).
Pour tout réel \(x\), on a :
\[ \sin^2x\ge0. \]Comme la base \(2\) est strictement supérieure à \(1\), il vient :
\[ 2^{\sin^2x}\ge2^0=1. \]D’autre part :
\[ \cos x\le1. \]Ainsi, pour que \(2^{\sin^2x}=\cos x\), les deux membres doivent être simultanément égaux à \(1\).
Pourquoi ces deux égalités ? Deux réels ne peuvent être à la fois égaux, l’un supérieur ou égal à 1 et l’autre inférieur ou égal à 1, que s’ils valent chacun exactement 1. L’équation initiale impose donc simultanément ces deux conditions.
Il faut donc avoir :
\[ \begin{cases} 2^{\sin^2x}=1,\\ \cos x=1. \end{cases} \]La première égalité donne :
\[ \sin^2x=0 \iff \sin x=0 \iff x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z. \]La seconde égalité donne :
\[ \cos x=1 \iff x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z. \]Les valeurs \(x=2k\pi\) vérifient bien aussi \(\sin x=0\).
Vérification. Pour \(x=2k\pi\), on a \(\sin x=0\) et \(\cos x=1\). Le membre de gauche vaut alors \(2^0=1\) comme celui de droite. Inversement, aucune autre valeur ne peut convenir, puisque toute solution exige \(\cos x=1\).
À retenir. Lorsqu’une équation met en présence deux expressions situées de part et d’autre d’une même borne, l’étude des cas d’égalité peut résoudre le problème sans calcul algébrique compliqué.
Question 2. Montrer l’existence de deux solutions et établir que leur produit vaut \(-1\).
\[a=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1},\qquad a^{2x}-3a^x+1=0.\]Afficher la correction — Exercice 26 / Question 2
Analyse. L’inconnue se trouve dans deux exposants, \(x\) et \(2x\). Le premier réflexe est de poser \(t=a^x\), afin de transformer l’équation exponentielle en un trinôme du second degré. Avant cela, il faut établir que la base \(a\) est strictement positive et différente de 1 : cette condition sera nécessaire pour retrouver \(x\) à partir de \(a^x\).
Méthode. Rationaliser le dénominateur de \(a\), résoudre l’équation en \(t\) sous la condition \(t>0\), puis exploiter les deux racines positives pour identifier les solutions réelles. Enfin, calculer leur produit répondra exactement à la question posée.
Commençons par simplifier le nombre \(a\) :
\[ \begin{aligned} a &= \frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1} \times \frac{\sqrt5+1}{\sqrt5+1}\\ &= \frac{(\sqrt5+1)^2}{5-1}\\ &= \frac{6+2\sqrt5}{4}\\ &= \frac{3+\sqrt5}{2}. \end{aligned} \]En particulier :
\[ a>1. \]Pourquoi choisir cette inconnue auxiliaire ? La propriété \(a^{2x}=(a^x)^2\) permet de remplacer les deux puissances par \(t^2\) et \(t\). Il ne faut pas oublier que \(t\) ne peut pas être négatif, car une puissance de base strictement positive est toujours positive.
Posons :
\[ t=a^x. \]Comme \(a>0\), on a \(t>0\). L’équation devient :
\[ t^2-3t+1=0. \]Son discriminant vaut :
\[ \Delta=9-4=5. \]Les deux racines sont :
\[ t_1=\frac{3+\sqrt5}{2}=a \]et :
\[ t_2=\frac{3-\sqrt5}{2}. \]Or :
\[ \frac1a = \frac{2}{3+\sqrt5} = \frac{3-\sqrt5}{2}. \]Ainsi :
\[ t_2=\frac1a=a^{-1}. \]On obtient donc :
\[ a^x=a \qquad\text{ou}\qquad a^x=a^{-1}. \]Puisque \(a>0\) et \(a\ne1\), la fonction \(x\mapsto a^x\) est injective. Par conséquent :
\[ x=1 \qquad\text{ou}\qquad x=-1. \]On peut donc prendre :
\[ \alpha=-1 \qquad\text{et}\qquad \beta=1. \]Leur produit vaut bien :
\[ \alpha\beta=(-1)\times1=-1. \]Vérification. Pour \(x=1\), le membre de gauche s’écrit \(a^2-3a+1\), nul puisque \(a\) est racine de \(t^2-3t+1\). Pour \(x=-1\), il s’écrit \(a^{-2}-3a^{-1}+1\), qui s’annule pour la même raison. Les deux solutions sont distinctes, car \(-1\ne1\).
Interprétation. Les racines du trinôme en \(t\) sont réciproques, \(a\) et \(a^{-1}\). L’injectivité de la fonction \(x\mapsto a^x\) les fait correspondre aux exposants opposés 1 et −1, d’où le produit demandé. Cette méthode permet d’éviter de calculer des logarithmes inutilement.
Question 3. Vérifier que 4 est une solution de \((E)\), puis résoudre \((E)\).
\[(E):\qquad15\times4^x+8\left(5^x+6^x-7^x\right)=0.\]Afficher la correction — Exercice 26 / Question 3
Que faut-il démontrer ? L’exercice comporte deux tâches distinctes. Il faut d’abord vérifier directement que 4 annule le premier membre de l’équation. Cette vérification établit l’existence d’une solution, mais ne prouve pas qu’il n’en existe aucune autre. Une deuxième étape sera donc nécessaire pour démontrer l’unicité.
Stratégie et conditions. Toutes les puissances de bases 4, 5, 6 et 7 sont définies et strictement positives sur \(\mathbb R\). Après la vérification de \(x=4\), nous diviserons par \(7^x\), qui n’est jamais nul, afin d’obtenir une somme de trois fonctions exponentielles de bases comprises strictement entre 0 et 1. L’étude de leur sens de variation permettra de conclure.
Vérification de la solution \(x=4\).
Pour \(x=4\), on a :
\[ \begin{aligned} &15\times4^4 + 8\left(5^4+6^4-7^4\right)\\ &= 15\times256 + 8\left(625+1296-2401\right)\\ &= 3840+8(-480)\\ &= 3840-3840\\ &= 0. \end{aligned} \]Donc \(4\) est bien une solution de \((E)\).
Étude de l’unicité de cette solution.
Pourquoi diviser par \(7^x\) ? Cette transformation conserve exactement l’ensemble des solutions : le diviseur est strictement positif pour tout réel. Elle isole le terme constant 8 et fait apparaître des exponentielles dont les trois bases sont inférieures à 1. Leurs dérivées ont ainsi un signe facile à établir.
Comme \(7^x>0\) pour tout \(x\in\mathbb R\), on peut diviser l’équation par \(7^x\). On obtient :
\[ 15\left(\frac47\right)^x + 8\left(\frac57\right)^x + 8\left(\frac67\right)^x = 8. \]Considérons la fonction \(\varphi\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ \varphi(x) = 15\left(\frac47\right)^x + 8\left(\frac57\right)^x + 8\left(\frac67\right)^x. \]La fonction \(\varphi\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et :
\[ \begin{aligned} \varphi'(x) &= 15\left(\frac47\right)^x \ln\left(\frac47\right)\\ &\quad+ 8\left(\frac57\right)^x \ln\left(\frac57\right)\\ &\quad+ 8\left(\frac67\right)^x \ln\left(\frac67\right). \end{aligned} \]Or :
\[ 0\lt \frac47\lt 1,\qquad 0\lt \frac57\lt 1,\qquad 0\lt \frac67\lt 1. \]Donc :
\[ \ln\left(\frac47\right)\lt 0,\qquad \ln\left(\frac57\right)\lt 0,\qquad \ln\left(\frac67\right)\lt 0. \]Tous les autres facteurs figurant dans l’expression de \(\varphi'(x)\) sont strictement positifs. Ainsi :
\[ \varphi'(x)\lt 0 \qquad \text{pour tout }x\in\mathbb R. \]La fonction \(\varphi\) est donc strictement décroissante sur \(\mathbb R\).
L’équation \(\varphi(x)=8\) admet alors au plus une solution. Comme \(x=4\) est déjà une solution, elle est nécessairement l’unique solution.
Justification de l’unicité. Une fonction strictement décroissante ne peut prendre une même valeur qu’en un seul point. La valeur 4 trouvée au départ satisfait déjà l’équation, et l’étude de \(\varphi\) interdit toute seconde solution.
À retenir. Pour résoudre une équation exponentielle qui ne se factorise pas naturellement, on peut chercher une solution particulière, puis prouver l’unicité par la stricte monotonie d’une fonction auxiliaire. Il est important de distinguer la vérification de l’existence de la démonstration de l’unicité.
Méthodes à retenir
Question 1 : comparer avant de calculer. L’encadrement de chaque membre peut imposer l’égalité avec une borne commune. Vérifier ensuite simultanément toutes les conditions d’égalité, et non une seule.
Question 2 : ramener l’exponentielle à un trinôme. Lorsque les exposants sont \(x\) et \(2x\), poser \(t=a^x>0\) permet de résoudre une équation polynomiale. Le retour à \(x\) doit utiliser l’injectivité de la fonction puissance, donc la condition \(a>0\) et \(a\ne1\).
Question 3 : existence puis unicité. La substitution d’une valeur donnée vérifie qu’elle est solution, mais elle ne suffit pas à résoudre l’équation. Une transformation équivalente suivie de la stricte décroissance d’une fonction permet d’exclure toutes les autres solutions.
Dans ces trois situations, le choix de la propriété et la vérification des conditions précèdent toujours le calcul. C’est cette organisation du raisonnement qui rend les méthodes transférables à d’autres exercices.
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