Correction de l’exercice 26 — Fonctions puissances — Al Moufid

Correction de l’exercice 26

Fonctions puissances — Équations exponentielles

2e Bac Sciences Mathématiques

Présentation :
Cette page propose la correction détaillée de l’exercice 26 du chapitre « Fonctions puissances » du manuel Al Moufid. L’exercice mobilise les propriétés de la fonction exponentielle, l’injectivité d’une fonction puissance et l’étude d’une fonction strictement monotone pour établir l’unicité d’une solution.

Niveau : 2e Bac Sciences Mathématiques

Chapitre : Fonctions puissances

Manuel : Al Moufid

Exercice : 26

Thèmes : Équations exponentielles et unicité

Nombre de questions : 3

Exercice 26 Résolution d’équations exponentielles

Énoncé complet

1) Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation suivante :

\[ 2^{\sin^2x}=\cos x. \]

2) Soit \(a\) le nombre :

\[ a=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}. \]

Montrer que l’équation

\[ a^{2x}-3a^x+1=0 \]

admet deux solutions réelles \(\alpha\) et \(\beta\) telles que :

\[ \alpha\beta=-1. \]

3) On considère l’équation \((E)\) suivante :

\[ (E):\qquad 15\times4^x+8\left(5^x+6^x-7^x\right)=0. \]

Vérifier que \(4\) est une solution de \((E)\), puis la résoudre.

1 Résoudre \(2^{\sin^2x}=\cos x\)

Résoudre dans \(\mathbb R\) : \[ 2^{\sin^2x}=\cos x. \]

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Correction détaillée

Pour tout réel \(x\), on a :

\[ \sin^2x\ge0. \]

Comme la base \(2\) est strictement supérieure à \(1\), il vient :

\[ 2^{\sin^2x}\ge2^0=1. \]

D’autre part :

\[ \cos x\le1. \]

Ainsi, pour que \(2^{\sin^2x}=\cos x\), les deux membres doivent être simultanément égaux à \(1\).

Il faut donc avoir :

\[ \begin{cases} 2^{\sin^2x}=1,\\ \cos x=1. \end{cases} \]

La première égalité donne :

\[ \sin^2x=0 \iff \sin x=0 \iff x=k\pi,\qquad k\in\mathbb Z. \]

La seconde égalité donne :

\[ \cos x=1 \iff x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z. \]

Les valeurs \(x=2k\pi\) vérifient bien aussi \(\sin x=0\).

\[ \boxed{ S=\left\{2k\pi\ ;\ k\in\mathbb Z\right\} } \]

2 Déterminer les solutions \(\alpha\) et \(\beta\)

Avec \[ a=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}, \] résoudre : \[ a^{2x}-3a^x+1=0, \] puis vérifier que le produit des deux solutions vaut \(-1\).

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Correction détaillée

Commençons par simplifier le nombre \(a\) :

\[ \begin{aligned} a &= \frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1} \times \frac{\sqrt5+1}{\sqrt5+1}\\ &= \frac{(\sqrt5+1)^2}{5-1}\\ &= \frac{6+2\sqrt5}{4}\\ &= \frac{3+\sqrt5}{2}. \end{aligned} \]

En particulier :

\[ a>1. \]

Posons :

\[ t=a^x. \]

Comme \(a>0\), on a \(t>0\). L’équation devient :

\[ t^2-3t+1=0. \]

Son discriminant vaut :

\[ \Delta=9-4=5. \]

Les deux racines sont :

\[ t_1=\frac{3+\sqrt5}{2}=a \]

et :

\[ t_2=\frac{3-\sqrt5}{2}. \]

Or :

\[ \frac1a = \frac{2}{3+\sqrt5} = \frac{3-\sqrt5}{2}. \]

Ainsi :

\[ t_2=\frac1a=a^{-1}. \]

On obtient donc :

\[ a^x=a \qquad\text{ou}\qquad a^x=a^{-1}. \]

Puisque \(a>0\) et \(a\ne1\), la fonction \(x\mapsto a^x\) est injective. Par conséquent :

\[ x=1 \qquad\text{ou}\qquad x=-1. \]

On peut donc prendre :

\[ \alpha=-1 \qquad\text{et}\qquad \beta=1. \]

Leur produit vaut bien :

\[ \alpha\beta=(-1)\times1=-1. \]

\[ \boxed{ S=\{-1,1\} } \] \[ \boxed{\alpha\beta=-1} \]

3 Résoudre l’équation \((E)\)

Vérifier que \(4\) est une solution de : \[ (E):\qquad 15\times4^x+8\left(5^x+6^x-7^x\right)=0, \] puis résoudre cette équation dans \(\mathbb R\).

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Correction détaillée

Vérification de la solution \(x=4\).

Pour \(x=4\), on a :

\[ \begin{aligned} &15\times4^4 + 8\left(5^4+6^4-7^4\right)\\ &= 15\times256 + 8\left(625+1296-2401\right)\\ &= 3840+8(-480)\\ &= 3840-3840\\ &= 0. \end{aligned} \]

Donc \(4\) est bien une solution de \((E)\).

Étude de l’unicité de cette solution.

Comme \(7^x>0\) pour tout \(x\in\mathbb R\), on peut diviser l’équation par \(7^x\). On obtient :

\[ 15\left(\frac47\right)^x + 8\left(\frac57\right)^x + 8\left(\frac67\right)^x = 8. \]

Considérons la fonction \(\varphi\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ \varphi(x) = 15\left(\frac47\right)^x + 8\left(\frac57\right)^x + 8\left(\frac67\right)^x. \]

La fonction \(\varphi\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et :

\[ \begin{aligned} \varphi'(x) &= 15\left(\frac47\right)^x \ln\left(\frac47\right)\\ &\quad+ 8\left(\frac57\right)^x \ln\left(\frac57\right)\\ &\quad+ 8\left(\frac67\right)^x \ln\left(\frac67\right). \end{aligned} \]

Or :

\[ 0\lt \frac47\lt 1,\qquad 0\lt \frac57\lt 1,\qquad 0\lt \frac67\lt 1. \]

Donc :

\[ \ln\left(\frac47\right)\lt 0,\qquad \ln\left(\frac57\right)\lt 0,\qquad \ln\left(\frac67\right)\lt 0. \]

Tous les autres facteurs figurant dans l’expression de \(\varphi'(x)\) sont strictement positifs. Ainsi :

\[ \varphi'(x)\lt 0 \qquad \text{pour tout }x\in\mathbb R. \]

La fonction \(\varphi\) est donc strictement décroissante sur \(\mathbb R\).

L’équation \(\varphi(x)=8\) admet alors au plus une solution. Comme \(x=4\) est déjà une solution, elle est nécessairement l’unique solution.

\[ \boxed{S=\{4\}} \]

Méthodes à retenir

• Une égalité entre un nombre supérieur ou égal à \(1\) et un nombre inférieur ou égal à \(1\) impose que les deux membres soient égaux à \(1\).
• Pour résoudre une équation polynomiale en \(a^x\), on pose \(t=a^x>0\).
• Si \(a>0\) et \(a\ne1\), la fonction \(x\mapsto a^x\) est injective.
• Pour démontrer l’unicité d’une solution, on peut transformer l’équation en \(\varphi(x)=c\) et établir que \(\varphi\) est strictement monotone.

Ressources liées

Correction des exercices 1 à 4 Correction des exercices 5 à 8 Correction des exercices 9 à 13 Correction des exercices 14 à 17 Correction de l’exercice 18 Correction des exercices 19 et 20 Correction de l’exercice 21 Correction des exercices 22 et 23 Correction des exercices 24 et 25

Préparé par :
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt

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