Correction de l’exercice 27
Fonctions puissances — Résolution d’inéquations
2e Bac Sciences Mathématiques
Cette page propose la correction détaillée de l’exercice 27 du chapitre « Fonctions puissances » du manuel Al Moufid. Les douze inéquations font intervenir des logarithmes, des fonctions exponentielles, des changements d’inconnue et des études de signes.
Exercice 27 Résolution de douze inéquations
Résoudre dans \(\mathbb R\) les inéquations suivantes :
\[ \begin{aligned} &1)\quad \log(2)+\log\left(4^{x-1}+9\right) \le 1+\log\left(2^{x-1}+1\right)\\[2mm] &2)\quad 2^x\lt \frac12\\[2mm] &3)\quad \left(2^{1+\frac1x}\right)^3 -2^{2+\frac2x} -2^{2+\frac1x} +2>0\\[2mm] &4)\quad \left(\sqrt7\right)^x\ge125\\[2mm] &5)\quad \ln\left(e^{x^2-4}-6e^{4-x^2}\right)\ge0\\[2mm] &6)\quad \left(\frac{\pi}{2}\right)^x>3\\[2mm] &7)\quad 11^{-x}\lt 11^{2x}\\[2mm] &8)\quad \left(\frac1{13}\right)^{5x}\le\frac54\\[2mm] &9)\quad 2^x+2^{-x}\ge\frac52\\[2mm] &10)\quad 3^{2x}+3^x-2\le0\\[2mm] &11)\quad \left(5^x-2\right) \left(3^{x+3}-9^{x+1}-18\right) \le0\\[2mm] &12)\quad \frac{2^x}{2^x+2^{-x}}\lt \frac13. \end{aligned} \]Lire la correction +Masquer la correction −
Les quantités \(4^{x-1}+9\) et \(2^{x-1}+1\) sont strictement positives pour tout réel \(x\). L’inéquation est donc définie sur \(\mathbb R\).
Comme \(1=\log(10)\), on peut écrire :
\[ \log\left(2(4^{x-1}+9)\right) \le \log\left(10(2^{x-1}+1)\right). \]La fonction logarithme décimal est strictement croissante. L’inéquation équivaut donc à :
\[ 2(4^{x-1}+9) \le 10(2^{x-1}+1). \]Posons :
\[ t=2^{x-1}>0. \]Alors \(4^{x-1}=t^2\), et l’inéquation devient :
\[ 2t^2+18\le10t+10. \]Donc :
\[ t^2-5t+4\le0. \]On factorise :
\[ (t-1)(t-4)\le0. \]Ainsi :
\[ 1\le t\le4. \]En revenant à \(x\) :
\[ 1\le2^{x-1}\le2^2. \]La base \(2\) étant strictement supérieure à \(1\), on obtient :
\[ 0\le x-1\le2. \]Lire la correction +Masquer la correction −
On écrit :
\[ \frac12=2^{-1}. \]Comme la fonction \(x\mapsto2^x\) est strictement croissante, on a :
\[ 2^x\lt 2^{-1} \iff x\lt -1. \]Lire la correction +Masquer la correction −
L’expression contient \(\dfrac1x\). Elle est donc définie pour :
\[ x\ne0. \]Posons :
\[ t=2^{\frac1x}>0. \]Alors :
\[ 2^{1+\frac1x}=2t, \qquad 2^{2+\frac2x}=4t^2, \qquad 2^{2+\frac1x}=4t. \]L’inéquation devient :
\[ 8t^3-4t^2-4t+2>0. \]On factorise :
\[ \begin{aligned} 8t^3-4t^2-4t+2 &= 2(4t^3-2t^2-2t+1)\\ &= 2(2t-1)(2t^2-1). \end{aligned} \]Les deux valeurs critiques positives sont :
\[ \frac12 \qquad\text{et}\qquad \frac1{\sqrt2}, \]avec :
\[ 0\lt \frac12\lt \frac1{\sqrt2}. \]L’étude du signe donne :
\[ 0\lt t\lt \frac12 \qquad\text{ou}\qquad t>\frac1{\sqrt2}. \]Premier cas :
\[ 2^{\frac1x}\lt 2^{-1}. \]La base \(2\) étant croissante :
\[ \frac1x\lt -1. \]Cette inéquation donne :
\[ -1\lt x\lt 0. \]Deuxième cas :
\[ 2^{\frac1x}>2^{-\frac12}. \]Donc :
\[ \frac1x>-\frac12. \]Si \(x>0\), cette inégalité est toujours vérifiée. Si \(x\lt 0\), elle équivaut à \(x\lt -2\).
Lire la correction +Masquer la correction −
La base \(\sqrt7\) est strictement supérieure à \(1\). On applique le logarithme népérien :
\[ x\ln(\sqrt7)\ge\ln125. \]Or :
\[ \ln(\sqrt7)=\frac12\ln7 \qquad\text{et}\qquad \ln125=3\ln5. \]Donc :
\[ \frac{x}{2}\ln7\ge3\ln5. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Comme la fonction \(\ln\) est strictement croissante et \(\ln1=0\), l’inéquation équivaut à :
\[ e^{x^2-4}-6e^{4-x^2}\ge1. \]Cette condition entraîne automatiquement la positivité de l’argument du logarithme.
Posons :
\[ t=e^{x^2-4}>0. \]Comme \(e^{4-x^2}=\dfrac1t\), on obtient :
\[ t-\frac6t\ge1. \]En multipliant par \(t>0\) :
\[ t^2-t-6\ge0. \]On factorise :
\[ (t-3)(t+2)\ge0. \]Comme \(t>0\), il reste :
\[ t\ge3. \]Ainsi :
\[ e^{x^2-4}\ge3. \]La fonction exponentielle étant croissante :
\[ x^2-4\ge\ln3. \]Donc :
\[ x^2\ge4+\ln3. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Comme :
\[ \frac{\pi}{2}>1, \]la fonction \(x\mapsto\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^x\) est strictement croissante.
En appliquant le logarithme népérien :
\[ x\ln\left(\frac{\pi}{2}\right)>\ln3. \]Lire la correction +Masquer la correction −
La fonction \(t\mapsto11^t\) est strictement croissante. Par conséquent :
\[ 11^{-x}\lt 11^{2x} \iff -x\lt 2x. \]Donc :
\[ 3x>0. \]Lire la correction +Masquer la correction −
On applique le logarithme népérien :
\[ 5x\ln\left(\frac1{13}\right) \le \ln\left(\frac54\right). \]Or :
\[ \ln\left(\frac1{13}\right)=-\ln13\lt 0. \]En divisant par le nombre négatif \(5\ln\left(\dfrac1{13}\right)\), on inverse le sens de l’inégalité :
\[ x \ge \frac{ \ln\left(\frac54\right) }{ 5\ln\left(\frac1{13}\right) }. \]On peut aussi écrire cette borne sous la forme :
\[ \frac{ \ln\left(\frac54\right) }{ 5\ln\left(\frac1{13}\right) } = \frac{ \ln\left(\frac45\right) }{ 5\ln13 }. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Posons :
\[ t=2^x>0. \]Alors \(2^{-x}=\dfrac1t\), et l’inéquation devient :
\[ t+\frac1t\ge\frac52. \]En multipliant par \(2t>0\) :
\[ 2t^2-5t+2\ge0. \]On factorise :
\[ (2t-1)(t-2)\ge0. \]Ainsi :
\[ 0\lt t\le\frac12 \qquad\text{ou}\qquad t\ge2. \]En revenant à \(x\) :
\[ 2^x\le2^{-1} \qquad\text{ou}\qquad 2^x\ge2^1. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Posons :
\[ t=3^x>0. \]L’inéquation devient :
\[ t^2+t-2\le0. \]On factorise :
\[ (t+2)(t-1)\le0. \]Comme \(t>0\), on a toujours \(t+2>0\). Il faut donc :
\[ t-1\le0. \]Ainsi :
\[ 3^x\le1=3^0. \]Lire la correction +Masquer la correction −
On transforme le second facteur :
\[ \begin{aligned} 3^{x+3}-9^{x+1}-18 &= 27\cdot3^x - 9\cdot3^{2x} - 18\\ &= -9\left(3^{2x}-3\cdot3^x+2\right)\\ &= -9\left(3^x-1\right)\left(3^x-2\right). \end{aligned} \]L’inéquation devient :
\[ -9 \left(5^x-2\right) \left(3^x-1\right) \left(3^x-2\right) \le0. \]En divisant par \(-9\lt 0\), on inverse le sens :
\[ \left(5^x-2\right) \left(3^x-1\right) \left(3^x-2\right) \ge0. \]Les trois valeurs critiques sont :
\[ x=0, \qquad x=\frac{\ln2}{\ln5}, \qquad x=\frac{\ln2}{\ln3}. \]Leur ordre est :
\[ 0 \lt \frac{\ln2}{\ln5} \lt \frac{\ln2}{\ln3}. \]En étudiant successivement le signe des trois facteurs sur les intervalles déterminés par ces valeurs, le produit est positif ou nul pour :
\[ 0 \le x \le \frac{\ln2}{\ln5} \]ou :
\[ x \ge \frac{\ln2}{\ln3}. \]Lire la correction +Masquer la correction −
Le dénominateur est strictement positif :
\[ 2^x+2^{-x}>0. \]On peut donc multiplier sans changer le sens de l’inégalité :
\[ 3\cdot2^x \lt 2^x+2^{-x}. \]Donc :
\[ 2\cdot2^x\lt 2^{-x}. \]En divisant par \(2^x>0\) :
\[ 2\lt 2^{-2x}. \]Comme \(2=2^1\) et que la fonction \(t\mapsto2^t\) est croissante :
\[ 1\lt -2x. \]Ainsi :
\[ x\lt -\frac12. \]Méthodes à retenir
- Avant toute transformation, il faut déterminer le domaine de définition de l’inéquation.
- Si la base est supérieure à \(1\), la fonction puissance conserve le sens des inégalités ; si la base appartient à \(]0,1[\), elle l’inverse.
- Une substitution comme \(t=a^x>0\) permet souvent de ramener une inéquation exponentielle à une inéquation polynomiale.
- Après une factorisation, l’ordre exact des valeurs critiques doit être établi avant l’étude du signe.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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