Correction de l’exercice 27 — Fonctions puissances
Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques
Douze inéquations : logarithmes, exponentielles, substitutions et étude de signes
Introduction
Les inéquations faisant intervenir des puissances et des logarithmes ne se résolvent pas toutes de la même manière. Il faut d’abord observer la forme de l’expression : une comparaison de puissances de même base se réduit parfois à une inégalité sur les exposants, tandis qu’une somme ou un produit de puissances peut nécessiter une factorisation et un tableau de signes. Les logarithmes exigent un contrôle du domaine de définition ; les bases inférieures à un imposent une attention particulière au sens des inégalités.
L’exercice 27 du manuel Al Moufid, destiné aux élèves de deuxième année du baccalauréat Sciences Mathématiques, rassemble douze situations complémentaires. Nous y apprendrons à justifier les transformations, à choisir une inconnue auxiliaire strictement positive, à étudier le signe d’un produit et à interpréter correctement les bornes des ensembles de solutions. Chaque question est immédiatement suivie de sa correction détaillée afin de faciliter une lecture progressive.
Repère de cours — Puissances, logarithmes et inéquations
Monotonie des fonctions puissances. Pour une base strictement positive différente de 1, la fonction puissance est strictement croissante si la base dépasse 1, et strictement décroissante si la base appartient à l’intervalle ]0,1[. Cette distinction détermine le sens de l’inégalité lors de la comparaison des exposants.
\[a^u\leq a^v\Longleftrightarrow u\leq v\quad\text{si }a>1,\qquad a^u\leq a^v\Longleftrightarrow u\geq v\quad\text{si }0<a<1.\]Logarithmes. Le logarithme népérien et le logarithme décimal sont strictement croissants sur ]0,+∞[. Leurs arguments doivent être positifs avant l’application de leurs propriétés. Dans la première question, le symbole \(\log\) est celui du logarithme décimal : on utilise notamment \(1=\log 10\).
Changement d’inconnue. Lorsque les puissances sont liées, poser \(t=a^x>0\) permet souvent d’obtenir une inéquation polynomiale. Cette condition de positivité doit être conservée pendant l’étude de signe et au retour à la variable initiale.
Piège à éviter. Multiplier ou diviser une inégalité par une expression exige de connaître son signe. Si cette expression est négative, le sens de l’inégalité est inversé ; si elle est positive, il est conservé. La même vigilance s’impose pour une variable présente au dénominateur.
Exercice 27 — Résolution de douze inéquations
Résoudre dans \(\mathbb R\) les douze inéquations suivantes. Chaque inéquation est reproduite intégralement dans le cadre de sa question, juste avant la correction.
Question 1. Logarithmes et substitution.
\[ \log(2)+\log\left(4^{x-1}+9\right) \le 1+\log\left(2^{x-1}+1\right). \]Afficher la correction — Exercice 27 / Question 1
Objectif. La présence de deux logarithmes décimaux invite à regrouper leurs arguments, mais cette opération n’est valable qu’après vérification de leur stricte positivité. Ici, les deux expressions auxquelles le logarithme est appliqué sont positives pour tout réel. On peut donc utiliser les propriétés algébriques du logarithme et sa stricte croissance.
Stratégie. Les puissances de 2 et de 4 sont liées. Remplacer la puissance de 2 par une inconnue strictement positive permet de ramener l’inéquation à un trinôme dont le signe est facile à déterminer.
Les quantités \(4^{x-1}+9\) et \(2^{x-1}+1\) sont strictement positives pour tout réel \(x\). L’inéquation est donc définie sur \(\mathbb R\).
Comme \(1=\log(10)\), on peut écrire :
\[ \log\left(2(4^{x-1}+9)\right) \le \log\left(10(2^{x-1}+1)\right). \]La fonction logarithme décimal est strictement croissante. L’inéquation équivaut donc à :
\[ 2(4^{x-1}+9) \le 10(2^{x-1}+1). \]Posons :
Ce changement d’inconnue est licite, mais il impose de garder la condition de positivité jusqu’à la fin de l’étude du trinôme.
\[ t=2^{x-1}>0. \]Alors \(4^{x-1}=t^2\), et l’inéquation devient :
\[ 2t^2+18\le10t+10. \]Donc :
\[ t^2-5t+4\le0. \]On factorise :
\[ (t-1)(t-4)\le0. \]Ainsi :
\[ 1\le t\le4. \]En revenant à \(x\) :
\[ 1\le2^{x-1}\le2^2. \]La base \(2\) étant strictement supérieure à \(1\), on obtient :
\[ 0\le x-1\le2. \]Interprétation. Les valeurs admissibles sont exactement les réels compris entre 1 et 3, bornes incluses. La substitution n’a ajouté aucune solution étrangère, car toute puissance de base 2 est strictement positive.
À retenir. Vérifier les arguments des logarithmes, les regrouper, puis poser une puissance comme inconnue auxiliaire est une démarche réutilisable dans de nombreuses inéquations logarithmiques.
Question 2. Base supérieure à 1.
\[ 2^x\lt \frac12. \]Afficher la correction — Exercice 27 / Question 2
Reconnaître la notion. On compare deux puissances de même base. Puisque la base 2 est supérieure à 1, la fonction puissance correspondante est strictement croissante sur les réels.
Méthode. Écrire le second membre comme une puissance de 2, puis comparer directement les exposants. Aucun logarithme n’est nécessaire.
On écrit :
Le choix de la même base permet une équivalence entre la comparaison des puissances et celle de leurs exposants.
\[ \frac12=2^{-1}. \]Comme la fonction \(x\mapsto2^x\) est strictement croissante, on a :
\[ 2^x\lt 2^{-1} \iff x\lt -1. \]Interprétation. Toute valeur strictement inférieure à moins un convient ; la borne moins un est exclue parce que l’inégalité est stricte.
À retenir. Avec une base supérieure à un, comparer les exposants suffit lorsque les deux membres sont des puissances de cette même base.
Question 3. Exposant réciproque.
\[ \left(2^{1+\frac1x}\right)^3 -2^{2+\frac2x} -2^{2+\frac1x} +2>0. \]Afficher la correction — Exercice 27 / Question 3
Domaine et notion. L’inconnue apparaît au dénominateur d’un exposant : la valeur zéro doit être exclue avant tout calcul. Les diverses puissances se ramènent ensuite aux puissances d’un même nombre strictement positif.
Stratégie. Poser une inconnue auxiliaire, factoriser le polynôme obtenu et résoudre son inéquation de signe. Le retour à la variable initiale exige deux cas : un exposant réciproque négatif et un exposant réciproque positif.
L’expression contient \(\dfrac1x\). Elle est donc définie pour :
\[ x\ne0. \]Posons :
\[ t=2^{\frac1x}>0. \]Alors :
\[ 2^{1+\frac1x}=2t, \qquad 2^{2+\frac2x}=4t^2, \qquad 2^{2+\frac1x}=4t. \]L’inéquation devient :
\[ 8t^3-4t^2-4t+2>0. \]On factorise :
\[ \begin{aligned} 8t^3-4t^2-4t+2 &= 2(4t^3-2t^2-2t+1)\\ &= 2(2t-1)(2t^2-1). \end{aligned} \]Les deux valeurs critiques positives sont :
\[ \frac12 \qquad\text{et}\qquad \frac1{\sqrt2}, \]avec :
\[ 0\lt \frac12\lt \frac1{\sqrt2}. \]L’étude du signe donne :
Il ne suffit pas de résoudre le polynôme : les deux intervalles trouvés sont des conditions sur la nouvelle inconnue. Le passage à l’inverse de la variable initiale doit être traité séparément selon son signe.
\[ 0\lt t\lt \frac12 \qquad\text{ou}\qquad t>\frac1{\sqrt2}. \]Premier cas :
\[ 2^{\frac1x}\lt 2^{-1}. \]La base \(2\) étant croissante :
\[ \frac1x\lt -1. \]Cette inéquation donne :
\[ -1\lt x\lt 0. \]Deuxième cas :
\[ 2^{\frac1x}>2^{-\frac12}. \]Donc :
\[ \frac1x>-\frac12. \]Si \(x>0\), cette inégalité est toujours vérifiée. Si \(x\lt 0\), elle équivaut à \(x\lt -2\).
Vérification des bornes. Zéro est exclu dès le départ. Les valeurs moins deux et moins un correspondent aux zéros des facteurs et sont également exclues, car l’inégalité initiale est stricte.
À retenir. Une substitution comportant l’inverse de la variable oblige à contrôler soigneusement le domaine et les changements de signe au retour à la variable initiale.
Question 4. Base racine carrée.
\[ \left(\sqrt7\right)^x\ge125. \]Afficher la correction — Exercice 27 / Question 4
Repère de cours. Pour une base strictement supérieure à 1, la fonction puissance est strictement croissante. On peut appliquer le logarithme népérien, qui préserve le sens de l’inégalité puisque les deux membres sont positifs.
Point de vigilance. Après application du logarithme, on ne pourra diviser par le logarithme de la base sans avoir vérifié qu’il est strictement positif.
La base \(\sqrt7\) est strictement supérieure à \(1\). On applique le logarithme népérien :
\[ x\ln(\sqrt7)\ge\ln125. \]Or :
La quantité par laquelle on va diviser est positive ; cette vérification garantit que la borne inférieure obtenue conserve le bon sens.
\[ \ln(\sqrt7)=\frac12\ln7 \qquad\text{et}\qquad \ln125=3\ln5. \]Donc :
\[ \frac{x}{2}\ln7\ge3\ln5. \]Interprétation. L’ensemble des solutions est une demi-droite fermée à gauche. L’égalité est atteinte à la borne déterminée par les logarithmes, car l’inégalité de départ est large.
À retenir. Avant de diviser par le logarithme d’une base, toujours déterminer son signe.
Question 5. Logarithme népérien.
\[ \ln\left(e^{x^2-4}-6e^{4-x^2}\right)\ge0. \]Afficher la correction — Exercice 27 / Question 5
Question de domaine. Avant d’utiliser un logarithme, son argument doit être strictement positif. Ici, la condition « logarithme supérieur ou égal à zéro » équivaut directement à « argument supérieur ou égal à un » : cette dernière condition garantit elle-même la définition du logarithme.
Méthode. Les deux exponentielles sont réciproques l’une de l’autre. Une substitution strictement positive transforme l’inéquation en un trinôme, puis le retour à la variable initiale conduit à une inégalité portant sur un carré.
Comme la fonction \(\ln\) est strictement croissante et \(\ln1=0\), l’inéquation équivaut à :
\[ e^{x^2-4}-6e^{4-x^2}\ge1. \]Cette condition entraîne automatiquement la positivité de l’argument du logarithme.
Posons :
\[ t=e^{x^2-4}>0. \]Comme \(e^{4-x^2}=\dfrac1t\), on obtient :
\[ t-\frac6t\ge1. \]En multipliant par \(t>0\) :
Cette multiplication ne change pas le sens de l’inégalité, précisément parce que l’inconnue auxiliaire est strictement positive.
\[ t^2-t-6\ge0. \]On factorise :
\[ (t-3)(t+2)\ge0. \]Comme \(t>0\), il reste :
\[ t\ge3. \]Ainsi :
\[ e^{x^2-4}\ge3. \]La fonction exponentielle étant croissante :
\[ x^2-4\ge\ln3. \]Donc :
\[ x^2\ge4+\ln3. \]Interprétation. La condition obtenue porte sur un carré : les solutions se répartissent sur deux demi-droites symétriques. Les deux bornes sont incluses, puisque le logarithme peut valoir zéro.
À retenir. Pour une inéquation logarithmique de cette forme, la comparaison de l’argument à un permet de résoudre simultanément l’inéquation et la condition d’existence du logarithme.
Question 6. Base π/2.
\[ \left(\frac{\pi}{2}\right)^x>3. \]Afficher la correction — Exercice 27 / Question 6
Notion utilisée. La base pi sur deux est un nombre réel supérieur à un. On se trouve donc dans le cas d’une fonction puissance strictement croissante, définie sur tous les réels.
Méthode. Appliquer le logarithme aux deux membres, puis diviser par le logarithme positif de la base. Le sens de l’inégalité sera conservé.
Comme :
\[ \frac{\pi}{2}>1, \]la fonction \(x\mapsto\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^x\) est strictement croissante.
En appliquant le logarithme népérien :
La stricte positivité du logarithme de la base garantit que l’inégalité finale aura le même sens.
\[ x\ln\left(\frac{\pi}{2}\right)>\ln3. \]Interprétation. Seules les valeurs strictement supérieures au seuil logarithmique conviennent. La borne est exclue en raison de l’inégalité stricte.
À retenir. Une base inhabituelle ne change pas la méthode : seuls son signe et sa position par rapport à un comptent.
Question 7. Comparer les exposants.
\[ 11^{-x}\lt 11^{2x}. \]Afficher la correction — Exercice 27 / Question 7
Reconnaître la structure. L’inéquation porte sur deux puissances de même base, strictement supérieure à un. Leur comparaison est donc entièrement déterminée par l’ordre des exposants.
Méthode. Utiliser la stricte croissance de la fonction puissance et résoudre ensuite l’inéquation du premier degré obtenue.
La fonction \(t\mapsto11^t\) est strictement croissante. Par conséquent :
La fonction de base 11 est injective et strictement croissante : aucune solution ne se perd lorsqu’on compare les exposants.
\[ 11^{-x}\lt 11^{2x} \iff -x\lt 2x. \]Donc :
\[ 3x>0. \]Interprétation. Les solutions sont exactement les réels positifs. À zéro, les deux membres sont égaux : cette valeur doit donc être exclue.
À retenir. Une comparaison de puissances de même base supérieure à un se ramène directement à une inéquation sur les exposants.
Question 8. Base comprise entre 0 et 1.
\[ \left(\frac1{13}\right)^{5x}\le\frac54. \]Afficher la correction — Exercice 27 / Question 8
Condition essentielle. La base un sur treize appartient strictement à l’intervalle compris entre zéro et un : la fonction puissance est alors strictement décroissante. C’est l’inverse du cas des bases supérieures à un.
Piège à éviter. Le logarithme de cette base est négatif. Lorsqu’on isole l’inconnue en divisant par ce logarithme, il faut impérativement inverser le sens de l’inégalité.
On applique le logarithme népérien :
\[ 5x\ln\left(\frac1{13}\right) \le \ln\left(\frac54\right). \]Or :
Le logarithme de la base est négatif. L’inversion du signe au moment de la division est donc indispensable à la validité du résultat.
\[ \ln\left(\frac1{13}\right)=-\ln13\lt 0. \]En divisant par le nombre négatif \(5\ln\left(\dfrac1{13}\right)\), on inverse le sens de l’inégalité :
\[ x \ge \frac{ \ln\left(\frac54\right) }{ 5\ln\left(\frac1{13}\right) }. \]On peut aussi écrire cette borne sous la forme :
\[ \frac{ \ln\left(\frac54\right) }{ 5\ln\left(\frac1{13}\right) } = \frac{ \ln\left(\frac45\right) }{ 5\ln13 }. \]Vérification du sens. La borne calculée est négative. En particulier, zéro est bien solution puisque le membre de gauche vaut un, inférieur ou égal à cinq quarts.
À retenir. Pour une base entre zéro et un, les puissances décroissent ; le sens de l’inégalité s’inverse lorsqu’on compare les exposants.
Question 9. Puissance et inverse.
\[ 2^x+2^{-x}\ge\frac52. \]Afficher la correction — Exercice 27 / Question 9
Reconnaître la notion. L’expression contient une puissance de 2 et son inverse. On peut utiliser une seule inconnue auxiliaire positive pour traiter simultanément ces deux termes.
Méthode. Après substitution, multiplier par un nombre strictement positif afin de ne pas modifier le sens de l’inégalité. L’étude du signe d’un trinôme donnera deux intervalles, qu’il faudra convertir en intervalles de la variable initiale.
Posons :
\[ t=2^x>0. \]Alors \(2^{-x}=\dfrac1t\), et l’inéquation devient :
\[ t+\frac1t\ge\frac52. \]En multipliant par \(2t>0\) :
Ce facteur étant positif, l’opération est une équivalence et ne modifie pas l’ensemble des solutions.
\[ 2t^2-5t+2\ge0. \]On factorise :
\[ (2t-1)(t-2)\ge0. \]Ainsi :
\[ 0\lt t\le\frac12 \qquad\text{ou}\qquad t\ge2. \]En revenant à \(x\) :
\[ 2^x\le2^{-1} \qquad\text{ou}\qquad 2^x\ge2^1. \]Interprétation. La fonction étudiée est symétrique par échange d’une puissance et de son inverse : les deux ensembles de solutions se situent à gauche de moins un et à droite de un.
À retenir. Avec un trinôme en une puissance positive et son inverse, vérifier la positivité du facteur de multiplication avant d’étudier le signe.
Question 10. Trinôme en 3 puissance x.
\[ 3^{2x}+3^x-2\le0. \]Afficher la correction — Exercice 27 / Question 10
Structure à identifier. La puissance d’exposant double est le carré de la puissance d’exposant simple. Une substitution positive transforme donc l’inéquation exponentielle en une inéquation du second degré.
Stratégie. Factoriser, exploiter la positivité de la nouvelle inconnue pour écarter un facteur toujours positif, puis revenir à l’exposant grâce à la croissance de la base 3.
Posons :
\[ t=3^x>0. \]L’inéquation devient :
\[ t^2+t-2\le0. \]On factorise :
Le facteur associé à la racine négative du trinôme reste toujours positif dans le domaine de la substitution ; seul l’autre facteur décide du signe.
\[ (t+2)(t-1)\le0. \]Comme \(t>0\), on a toujours \(t+2>0\). Il faut donc :
\[ t-1\le0. \]Ainsi :
\[ 3^x\le1=3^0. \]Interprétation. Toute valeur inférieure ou égale à zéro convient. La valeur zéro est incluse, car elle annule exactement le trinôme initial.
À retenir. La condition de positivité sur l’inconnue auxiliaire simplifie souvent fortement le tableau de signes d’un trinôme.
Question 11. Produit de trois facteurs.
\[ \left(5^x-2\right) \left(3^{x+3}-9^{x+1}-18\right) \le0. \]Afficher la correction — Exercice 27 / Question 11
Objectif. On recherche le signe d’un produit. Le second facteur contient des puissances de 3 et de 9 : tout exprimer avec la base 3 permet de factoriser et de mettre en évidence trois facteurs réels.
Conditions. La division par le coefficient négatif inverse le sens de l’inégalité. Il faut ensuite ordonner exactement les trois zéros des facteurs avant de dresser le tableau de signes ; les points où le produit s’annule seront conservés.
On transforme le second facteur :
\[ \begin{aligned} 3^{x+3}-9^{x+1}-18 &= 27\cdot3^x - 9\cdot3^{2x} - 18\\ &= -9\left(3^{2x}-3\cdot3^x+2\right)\\ &= -9\left(3^x-1\right)\left(3^x-2\right). \end{aligned} \]L’inéquation devient :
\[ -9 \left(5^x-2\right) \left(3^x-1\right) \left(3^x-2\right) \le0. \]En divisant par \(-9\lt 0\), on inverse le sens :
\[ \left(5^x-2\right) \left(3^x-1\right) \left(3^x-2\right) \ge0. \]Les trois valeurs critiques sont :
Entre deux zéros consécutifs, chaque facteur garde un signe constant. Leur produit est positif quand le nombre de facteurs négatifs est pair.
\[ x=0, \qquad x=\frac{\ln2}{\ln5}, \qquad x=\frac{\ln2}{\ln3}. \]Leur ordre est :
\[ 0 \lt \frac{\ln2}{\ln5} \lt \frac{\ln2}{\ln3}. \]En étudiant successivement le signe des trois facteurs sur les intervalles déterminés par ces valeurs, le produit est positif ou nul pour :
\[ 0 \le x \le \frac{\ln2}{\ln5} \]ou :
\[ x \ge \frac{\ln2}{\ln3}. \]Interprétation. L’ensemble des solutions comporte deux intervalles fermés à gauche ou aux bornes finies, conformément à une inégalité large. L’ordre des zéros est essentiel : une permutation modifierait le tableau de signes.
À retenir. Après avoir factorisé un produit exponentiel, établir rigoureusement l’ordre des valeurs critiques avant de conclure.
Question 12. Quotient de puissances.
\[ \frac{2^x}{2^x+2^{-x}}\lt \frac13. \]Afficher la correction — Exercice 27 / Question 12
Condition de départ. Le dénominateur est la somme de deux puissances strictement positives : il n’est jamais nul et son signe est toujours positif.
Méthode. Supprimer le dénominateur sans inverser le signe, puis diviser par une autre puissance positive. On obtient finalement deux puissances de même base, à comparer par stricte croissance.
Le dénominateur est strictement positif :
\[ 2^x+2^{-x}>0. \]On peut donc multiplier sans changer le sens de l’inégalité :
\[ 3\cdot2^x \lt 2^x+2^{-x}. \]Donc :
\[ 2\cdot2^x\lt 2^{-x}. \]En divisant par \(2^x>0\) :
Le diviseur est une puissance strictement positive ; l’opération conserve donc le sens de l’inégalité et toutes les solutions.
\[ 2\lt 2^{-2x}. \]Comme \(2=2^1\) et que la fonction \(t\mapsto2^t\) est croissante :
\[ 1\lt -2x. \]Ainsi :
\[ x\lt -\frac12. \]Interprétation. La demi-droite trouvée n’inclut pas sa borne : l’inégalité initiale est stricte. Le dénominateur ne s’annule pour aucune valeur réelle.
À retenir. Dans une inéquation rationnelle exponentielle, la justification du signe du dénominateur doit toujours précéder sa suppression.
Méthodes à retenir
Questions 1 et 5 : logarithmes et domaine. Les propriétés du logarithme ne s’emploient que sur des arguments strictement positifs. Lorsqu’une expression peut être ramenée à une inéquation polynomiale par substitution, la positivité de la nouvelle inconnue doit être préservée.
Questions 2, 4, 6, 7 et 8 : monotonie. Le signe du logarithme de la base indique si la fonction puissance croît ou décroît. C’est ce qui détermine le sens des inégalités lors du retour à la variable initiale.
Questions 3, 9, 10 et 11 : étude de signe. Les factorisations et substitutions conduisent à des produits. Il faut identifier leurs zéros, les ordonner, tenir compte des restrictions du domaine, puis sélectionner les intervalles de signe demandés.
Question 12 : quotient. La suppression d’un dénominateur dans une inéquation nécessite toujours la détermination préalable de son signe.
Dans toutes ces situations, le résultat final n’est valable qu’après la vérification des conditions des propriétés appliquées. Une borne est incluse pour une inégalité large et exclue pour une inégalité stricte, sauf lorsqu’une restriction de définition impose déjà son exclusion.
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