Correction de l’exercice 28
Fonctions puissances — Calcul de limites
2e Bac Sciences Mathématiques
Les quatorze limites de l’exercice 28 portent sur des puissances dont la base ou l’exposant varie. Les formes apparentes ne permettent pas de conclure directement : une base qui tend vers 1 peut être accompagnée d’un exposant qui diverge, et un exposant qui tend vers 0 ne donne pas automatiquement une limite égale à 1.
La méthode centrale consiste à écrire la puissance à l’aide du logarithme et de l’exponentielle, puis à étudier le produit placé dans l’exposant. Selon la question, une factorisation, une identité trigonométrique, une limite usuelle ou un nombre dérivé fournit le calcul adapté. Les deux limites paramétrées imposent de garder le paramètre fixé pendant le passage à la limite. L’exercice permet ainsi de travailler une démarche complète : établir le domaine au voisinage étudié, reconnaître la forme indéterminée, transformer l’expression et justifier la conclusion par continuité ou par un théorème de comparaison.
Repères de cours — Puissances réelles et limites usuelles
Pour \(a>0\) et \(b\in\mathbb R\), la puissance réelle est définie par \(a^b=e^{b\ln a}\). Avant d’utiliser cette écriture pour \(u(x)^{v(x)}\), vérifier que \(u(x)>0\) dans un voisinage du point où la limite est recherchée. Le logarithme de l’expression est alors \(v(x)\ln u(x)\).
Les limites usuelles \(\ln(1+t)/t\to1\), \((e^t-1)/t\to1\) et \(\sin t/t\to1\), lorsque \(t\to0\), servent à construire des produits de facteurs de limites connues. On utilise également \(t\ln t\to0\) en \(0^+\) et \(\ln t/t\to0\) en \(+\infty\). Chaque changement de variable doit préciser vers quelle valeur tend la nouvelle variable.
Si l’exposant transformé tend vers un réel \(L\), la continuité de l’exponentielle donne une limite égale à \(e^L\). Une différence \(f(x)-f(a)\) divisée par \(x-a\) peut aussi se traiter comme un taux d’accroissement lorsque la dérivabilité de \(f\) en \(a\) est justifiée. Ces outils suffisent ici sans développement limité ni règle de L’Hôpital.
Exercice 28 Calcul de quatorze limites
Méthode — Limite 1
La base est constante et comprise strictement entre 0 et 1. Identifier ce cas avant de chercher une transformation plus longue.
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On a :
\[ 0\lt \frac23\lt 1. \]Pour toute base \(a\) telle que \(0\lt a\lt 1\), on sait que :
\[ \lim_{x\to+\infty}a^x=0. \]Méthode — Limite 2
Écrire \(x^{\sqrt x}\) sous forme exponentielle, puis poser \(t=\sqrt x\) pour retrouver une limite logarithmique usuelle en \(0^+\).
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Pour \(x>0\), on écrit :
\[ x^{\sqrt x} = e^{\sqrt x\,\ln x}. \]Posons \(t=\sqrt x\). Alors \(t\to0^+\) et \(x=t^2\). Donc :
\[ \sqrt x\,\ln x = t\ln(t^2) = 2t\ln t. \]Or la limite usuelle donne :
\[ \lim_{t\to0^+}t\ln t=0. \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to0^+}\sqrt x\,\ln x=0. \]Par continuité de la fonction exponentielle :
Méthode — Limite 3
Comparer le quotient à la définition du nombre dérivé d’une fonction en 1. Vérifier sa valeur en ce point et la dérivabilité de son expression exponentielle.
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Considérons la fonction :
\[ f(x)=x^{\sqrt x} = e^{\sqrt x\,\ln x}, \qquad x>0. \]On a :
\[ f(1)=1. \]La limite demandée est donc le nombre dérivé \(f'(1)\).
Posons :
\[ u(x)=\sqrt x\,\ln x. \]Alors :
\[ \begin{aligned} u'(x) &= \frac{\ln x}{2\sqrt x} + \frac{\sqrt x}{x}\\ &= \frac{\ln x+2}{2\sqrt x}. \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ f'(x) = x^{\sqrt x} \frac{\ln x+2}{2\sqrt x}. \]En \(x=1\) :
\[ f'(1) = 1\times\frac{0+2}{2} = 1. \]Méthode — Limite 4
Vérifier \(1-x>0\) près de \(0^+\), puis isoler \(\ln(1-x)/x\). Avec la variable \(-x\), conserver le signe moins qui apparaît dans le quotient.
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Pour \(x\) assez proche de \(0^+\), on a \(1-x>0\). On écrit :
\[ (1-x)^{\frac1x} = e^{\frac{\ln(1-x)}x}. \]Or :
\[ \frac{\ln(1-x)}x = -\frac{\ln(1-x)}{-x}. \]En utilisant la limite usuelle :
\[ \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}u=1, \]avec \(u=-x\), on obtient :
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{\ln(1-x)}x=-1. \]Méthode — Limite 5
La tangente est positive à gauche de \(\pi/2\). Séparer son logarithme en différence de deux logarithmes, puis poser \(t=\cos x\) pour traiter le terme délicat.
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Lorsque \(x\to\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^-\), on a :
\[ \tan x\to+\infty \qquad\text{et}\qquad \cos x\to0^+. \]On écrit :
\[ (\tan x)^{\cos x} = e^{\cos x\,\ln(\tan x)}. \]Or :
\[ \ln(\tan x) = \ln(\sin x)-\ln(\cos x). \]Donc :
\[ \cos x\,\ln(\tan x) = \cos x\,\ln(\sin x) - \cos x\,\ln(\cos x). \]Le premier terme tend vers \(0\), car \(\ln(\sin x)\to0\) et \(\cos x\to0\).
Pour le second terme, posons \(t=\cos x\). Alors \(t\to0^+\), et :
\[ t\ln t\to0. \]Ainsi :
\[ \cos x\,\ln(\tan x)\to0. \]Méthode — Limite 6
Le logarithme de la base \(x^2\) se simplifie pour \(x>0\). Ne pas oublier que l’exposant est indéfini en 1, ce qui ne gêne pas l’étude au voisinage de \(0^+\).
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Pour \(x>0\) et \(x\ne1\), on écrit :
\[ \left(x^2\right)^{\frac1{\ln^2x}} = e^{ \frac{\ln(x^2)}{\ln^2x} }. \]Comme \(\ln(x^2)=2\ln x\), on obtient :
\[ \frac{\ln(x^2)}{\ln^2x} = \frac2{\ln x}. \]Lorsque \(x\to0^+\), on a \(\ln x\to-\infty\). Donc :
\[ \frac2{\ln x}\to0. \]Méthode — Limite 7
Le logarithme transforme la puissance en un quotient logarithmique. La limite de ce quotient permet ensuite d’utiliser la continuité de l’exponentielle.
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On écrit :
\[ x^{\frac1x} = e^{\frac{\ln x}{x}}. \]La limite usuelle donne :
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0. \]Méthode — Limite 8
Contrôler la positivité de la base au voisinage de 0. Utiliser la différence des logarithmes et la factorisation faisant intervenir \(\sin x/x\).
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Pour \(x\) assez proche de \(0\), la base est strictement positive. On écrit :
\[ \left( \frac{1+\sin x}{1+x} \right)^{\frac1x} = e^{A(x)}, \]où :
\[ A(x) = \frac{ \ln(1+\sin x)-\ln(1+x) }x. \]On sépare les deux termes :
\[ A(x) = \frac{\ln(1+\sin x)}x - \frac{\ln(1+x)}x. \]Pour le premier terme :
\[ \frac{\ln(1+\sin x)}x = \frac{\ln(1+\sin x)}{\sin x} \times \frac{\sin x}{x}. \]Donc :
\[ \lim_{x\to0} \frac{\ln(1+\sin x)}x = 1. \]De même :
\[ \lim_{x\to0} \frac{\ln(1+x)}x=1. \]Ainsi :
\[ A(x)\to1-1=0. \]Méthode — Limite 9
Réécrire la base sous la forme \(1+u_x\), avec \(u_x\to0\). Étudier séparément \(xu_x\) et \(\ln(1+u_x)/u_x\).
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On écrit :
\[ \frac{4x+15}{4x+7} = 1+\frac8{4x+7}. \]Posons :
\[ u_x=\frac8{4x+7}. \]Alors \(u_x\to0\), et :
\[ \left(1+u_x\right)^x = e^{x\ln(1+u_x)}. \]Or :
\[ x\ln(1+u_x) = xu_x \frac{\ln(1+u_x)}{u_x}. \]On a :
\[ xu_x = \frac{8x}{4x+7} \longrightarrow2 \]et :
\[ \frac{\ln(1+u_x)}{u_x} \longrightarrow1. \]Donc :
\[ x\ln(1+u_x)\to2. \]Méthode — Limite 10
Utiliser \(\cos x=1-2\sin^2(x/2)\) pour retrouver une limite logarithmique usuelle. Les facteurs obtenus doivent garder le signe du terme ajouté à 1.
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Pour \(x\) assez proche de \(0\), on a \(\cos x>0\). On écrit :
\[ (\cos x)^{\frac1{x^2}} = e^{\frac{\ln(\cos x)}{x^2}}. \]Utilisons l’identité :
\[ \cos x = 1-2\sin^2\left(\frac x2\right). \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} \frac{\ln(\cos x)}{x^2} &= \frac{ \ln\left( 1-2\sin^2\left(\frac x2\right) \right) }{ -2\sin^2\left(\frac x2\right) }\\ &\qquad\times \frac{ -2\sin^2\left(\frac x2\right) }{x^2}. \end{aligned} \]Le premier facteur tend vers \(1\).
Pour le second facteur :
\[ \frac{ -2\sin^2\left(\frac x2\right) }{x^2} = -\frac12 \left( \frac{\sin\left(\frac x2\right)}{\frac x2} \right)^2 \longrightarrow -\frac12. \]Donc :
\[ \frac{\ln(\cos x)}{x^2} \longrightarrow -\frac12. \]Méthode — Limite 11
Exprimer \(\ln(x+1)\) à partir de \(\ln x\), puis écrire le quotient sous la forme \(1/(1+u_x)\). Le logarithme de cet inverse porte un signe moins.
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On remarque que :
\[ \ln(x+1) = \ln x+\ln\left(1+\frac1x\right). \]Posons :
\[ u_x= \frac{ \ln\left(1+\frac1x\right) }{\ln x}. \]Alors \(u_x\to0\), et :
\[ \frac{\ln x}{\ln(x+1)} = \frac1{1+u_x}. \]Le logarithme de l’expression étudiée est :
\[ \begin{aligned} A(x) &= x\ln x \ln\left(\frac1{1+u_x}\right)\\ &= -x\ln x\,\ln(1+u_x). \end{aligned} \]On écrit :
\[ A(x) = -x\ln x\,u_x \frac{\ln(1+u_x)}{u_x}. \]Or :
\[ x\ln x\,u_x = x\ln\left(1+\frac1x\right) \longrightarrow1. \]De plus :
\[ \frac{\ln(1+u_x)}{u_x} \longrightarrow1. \]Ainsi :
\[ A(x)\to-1. \]Méthode — Limite 12
Garder \(m>0\) fixé et travailler avec \(x>m\). La réécriture de la base sous la forme \(1+u_x\) évite de traiter directement une forme indéterminée.
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Pour \(x>m\), le quotient est strictement positif. On écrit :
\[ \frac{x}{x-m} = 1+\frac{m}{x-m}. \]Posons :
\[ u_x=\frac{m}{x-m}. \]Alors \(u_x\to0\), et :
\[ \left(1+u_x\right)^x = e^{x\ln(1+u_x)}. \]Or :
\[ x\ln(1+u_x) = xu_x \frac{\ln(1+u_x)}{u_x}. \]On a :
\[ xu_x = \frac{mx}{x-m} \longrightarrow m \]et :
\[ \frac{\ln(1+u_x)}{u_x} \longrightarrow1. \]Donc l’exposant tend vers \(m\).
Méthode — Limite 13
Factoriser \(x^x-x\), puis introduire deux variables adaptées à l’exponentielle et au logarithme. Avec \(x\to1^+\), la racine \(\sqrt{x^2-1}\) est bien définie et positive.
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On factorise le numérateur :
\[ x^x-x = x\left(x^{x-1}-1\right). \]Comme :
\[ x^{x-1} = e^{(x-1)\ln x}, \]on obtient :
\[ x^x-x = x\left( e^{(x-1)\ln x}-1 \right). \]Posons :
\[ u=(x-1)\ln x \qquad\text{et}\qquad v=\sqrt{x^2-1}. \]Lorsque \(x\to1^+\), on a \(u\to0\) et \(v\to0^+\). Alors :
\[ \begin{aligned} \frac{x^x-x}{\ln(1+\sqrt{x^2-1})} &= x \frac{e^u-1}{u} \frac{u}{v} \frac{v}{\ln(1+v)}. \end{aligned} \]Le premier facteur tend vers \(1\), le deuxième quotient usuel tend vers \(1\), et :
\[ \frac{v}{\ln(1+v)} \longrightarrow1. \]Il reste à étudier :
\[ \begin{aligned} \frac{u}{v} &= \frac{(x-1)\ln x}{\sqrt{(x-1)(x+1)}}\\ &= \frac{\sqrt{x-1}\,\ln x}{\sqrt{x+1}}. \end{aligned} \]Lorsque \(x\to1^+\), ce dernier quotient tend vers \(0\).
Méthode — Limite 14
Garder \(m>0\) fixé. Après transformation exponentielle, faire apparaître le quotient usuel \((e^{u_x}-1)/u_x\) et justifier que \(u_x\to0\).
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Comme \(m>0\), la quantité \(m+\dfrac1x\) est strictement positive pour \(x\) assez grand. On écrit :
\[ \left(m+\frac1x\right)^{\frac1x} = e^{u_x}, \]où :
\[ u_x= \frac1x \ln\left(m+\frac1x\right). \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(u_x\to0\). Alors :
\[ \begin{aligned} x\left(e^{u_x}-1\right) &= xu_x \frac{e^{u_x}-1}{u_x}\\ &= \ln\left(m+\frac1x\right) \frac{e^{u_x}-1}{u_x}. \end{aligned} \]Or :
\[ \ln\left(m+\frac1x\right) \longrightarrow \ln m \]et :
\[ \frac{e^{u_x}-1}{u_x} \longrightarrow1. \]Méthodes et résultats à retenir
- Pour une puissance réelle, vérifier d’abord que la base est strictement positive.
- Transformer une expression de la forme \(u(x)^{v(x)}\) en \(e^{v(x)\ln u(x)}\).
- Utiliser les limites usuelles \(\dfrac{\ln(1+t)}t\to1\) et \(\dfrac{e^t-1}t\to1\).
- Traiter séparément les formes indéterminées \(0^0\), \(1^{\infty}\) et \(\infty^0\).
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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