Correction de l’exercice 29
Fonctions puissances — Systèmes exponentiels
2e Bac Sciences Mathématiques
Objectifs et parcours de résolution
Cet exercice du manuel Al Moufid rassemble six systèmes faisant intervenir des puissances, des exponentielles et des logarithmes. Il apprend à choisir une substitution, à exploiter une somme et un produit, puis à revenir aux inconnues initiales. Les systèmes ne se traitent pas tous de la même façon : certains se ramènent à une équation du second degré, tandis qu’un autre se résout par contradiction. Pour chaque système, les conditions de définition et la positivité des puissances guident le choix des solutions.
Rappels de cours utiles
Pour une base \(a>0\), la puissance réelle s’écrit \(a^t=e^{t\ln a}\). Si \(a\ne1\), la fonction \(t\mapsto a^t\) est injective : \(a^u=a^v\) équivaut à \(u=v\). Elle est croissante pour \(a>1\) et décroissante pour \(0\lt a\lt1\).
Les règles \(a^ua^v=a^{u+v}\) et \(a^u/a^v=a^{u-v}\) permettent de simplifier les équations. Une substitution \(U=a^x\) impose toujours \(U>0\) ; réciproquement, tout \(U>0\) donne un unique \(x=\ln U/\ln a\) lorsque \(a\ne1\).
Si \(U+V=s\) et \(UV=p\), alors \(U\) et \(V\) sont les racines de \(t^2-st+p=0\). Il faut vérifier leur positivité et considérer les deux ordres lorsque le système est symétrique.
Pour \(b>0\), \(b\ne1\), le logarithme \(\log_b z=\ln z/\ln b\) exige \(z>0\). La formule \(\log_b U+\log_b V=\log_b(UV)\) exige séparément \(U>0\) et \(V>0\). Enfin, un dénominateur contenant \(y+1\) impose \(y\ne-1\).
Exercice 29 Résoudre dans \(\mathbb R^2\) les systèmes suivants
Résoudre dans \(\mathbb R^2\) :
\[ \begin{cases} 3^x+7^y=16,\\ 3^x-7^y=2. \end{cases} \]Lire la correction +Masquer la correction −
Posons :
\[ u=3^x \qquad\text{et}\qquad v=7^y. \]Le système devient :
\[ \begin{cases} u+v=16,\\ u-v=2. \end{cases} \]En additionnant les deux équations :
\[ 2u=18, \]d’où :
\[ u=9. \]Ensuite :
\[ v=16-9=7. \]On revient à \(x\) et \(y\) :
\[ 3^x=9=3^2 \iff x=2, \] \[ 7^y=7=7^1 \iff y=1. \]Résoudre dans \(\mathbb R^2\) :
\[ \begin{cases} 2^{x-2}\,2^{y-1}=1,\\ 2^x+2^y=5\sqrt2. \end{cases} \]Lire la correction +Masquer la correction −
La première équation donne :
\[ 2^{x+y-3}=1=2^0. \]La fonction \(t\mapsto2^t\) étant injective :
\[ x+y=3. \]Posons :
\[ u=2^x>0 \qquad\text{et}\qquad v=2^y>0. \]Comme \(x+y=3\), on a :
\[ uv=2^{x+y}=2^3=8. \]La deuxième équation donne :
\[ u+v=5\sqrt2. \]Les nombres \(u\) et \(v\) sont donc les racines de l’équation :
\[ t^2-5\sqrt2\,t+8=0. \]Son discriminant vaut :
\[ \Delta=(5\sqrt2)^2-4\times8=50-32=18. \]Ainsi :
\[ t_1= \frac{5\sqrt2-3\sqrt2}{2} = \sqrt2 = 2^{\frac12}, \] \[ t_2= \frac{5\sqrt2+3\sqrt2}{2} = 4\sqrt2 = 2^{\frac52}. \]On obtient donc deux possibilités :
\[ (u,v)= \left(2^{\frac12},2^{\frac52}\right) \]ou :
\[ (u,v)= \left(2^{\frac52},2^{\frac12}\right). \]Résoudre dans \(\mathbb R^2\) :
\[ \begin{cases} 4^x\,5^y=5^{2x+1},\\ 20^x+25^y=5^{2y+1}. \end{cases} \]Lire la correction +Masquer la correction −
Posons :
\[ a=\log_5 4. \]Comme \(1\lt 4\lt 5\), on a :
\[ 0\lt a\lt 1. \]Transformation de la première équation.
On a \(4^x=5^{ax}\). Par conséquent :
\[ 5^{ax+y}=5^{2x+1}. \]La fonction \(t\mapsto5^t\) étant injective :
\[ ax+y=2x+1. \]Donc :
\[ y=(2-a)x+1. \tag{1} \]Transformation de la deuxième équation.
\[ 20^x+25^y=5\times25^y. \]Donc :
\[ 20^x=4\times25^y. \]En prenant le logarithme de base \(5\) :
\[ x\log_5 20 = \log_5 4+2y. \]Or :
\[ \log_5 20 = \log_5(4\times5) = a+1. \]Ainsi :
\[ (a+1)x=a+2y. \tag{2} \]En remplaçant \(y\) donné par (1) dans (2) :
\[ (a+1)x = a+2\left[(2-a)x+1\right]. \]Donc :
\[ 3(a-1)x=a+2. \]Comme \(a\ne1\) :
\[ x= \frac{a+2}{3(a-1)}. \]Puis :
\[ \begin{aligned} y &= (2-a)\frac{a+2}{3(a-1)}+1\\ &= \frac{1+3a-a^2}{3(a-1)}. \end{aligned} \]Avec \(a=\log_5 4\), on obtient :
\[ \boxed{ S= \left\{ \left( \frac{a+2}{3(a-1)}, \frac{1+3a-a^2}{3(a-1)} \right) \right\} } \]Résoudre dans \(\mathbb R^2\) :
\[ \begin{cases} 2^{x+y}=16\sqrt2,\\ 2^x+2^{x-y}=12\sqrt2. \end{cases} \]Lire la correction +Masquer la correction −
Posons :
\[ u=2^x>0 \qquad\text{et}\qquad v=2^y>0. \]La première équation devient :
\[ uv=16\sqrt2. \]Donc :
\[ v=\frac{16\sqrt2}{u}. \]La deuxième équation s’écrit :
\[ u+\frac{u}{v}=12\sqrt2. \]En remplaçant \(v\) :
\[ u+\frac{u^2}{16\sqrt2}=12\sqrt2. \]En multipliant par \(16\sqrt2\) :
\[ u^2+16\sqrt2\,u-384=0. \]Le discriminant vaut :
\[ \Delta = (16\sqrt2)^2+4\times384 = 2048 = (32\sqrt2)^2. \]Les deux racines sont :
\[ u_1=8\sqrt2 \qquad\text{et}\qquad u_2=-24\sqrt2. \]Comme \(u>0\), on conserve seulement :
\[ u=8\sqrt2=2^{\frac72}. \]Donc :
\[ x=\frac72. \]Ensuite :
\[ v= \frac{16\sqrt2}{8\sqrt2} = 2 = 2^1. \]Ainsi \(y=1\).
Résoudre dans \(\mathbb R^2\) :
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{e^{x-1}} + \dfrac{2}{e^{y+1}} =13,\\[3mm] \dfrac{2xy+2x-2} {e^{x-1}(y+1)} =42. \end{cases} \]Lire la correction +Masquer la correction −
La deuxième équation impose \(y\ne-1\).
Considérons la fonction :
\[ h(x)=\frac{x}{e^{x-1}} = xe^{1-x}. \]Sa dérivée est :
\[ h'(x)=e^{1-x}(1-x). \]Ainsi, \(h\) est croissante sur \(]-\infty,1]\), puis décroissante sur \([1,+\infty[\). Elle atteint son maximum en \(x=1\) :
\[ h(1)=1. \]Par conséquent :
\[ \frac{x}{e^{x-1}}\le1. \tag{1} \]Conséquence de la première équation.
D’après (1) :
\[ \frac{2}{e^{y+1}} = 13-\frac{x}{e^{x-1}} \ge12. \]Donc :
\[ e^{-(y+1)}\ge6. \]La fonction logarithme étant croissante :
\[ -(y+1)\ge\ln6. \]Ainsi :
\[ y+1\le-\ln6\lt -1. \tag{2} \]Conséquence de la deuxième équation.
On écrit :
\[ 2xy+2x-2 = 2x(y+1)-2. \]La deuxième équation devient :
\[ 2xe^{1-x} - \frac{2e^{1-x}}{y+1} = 42. \]En divisant par \(2\) :
\[ h(x) - \frac{e^{1-x}}{y+1} = 21. \]Donc :
\[ \frac{e^{1-x}}{y+1} = h(x)-21\lt 0. \]Il s’ensuit que \(y+1\lt 0\), et :
\[ -(y+1) = \frac{e^{1-x}}{21-h(x)}. \tag{3} \]Considérons maintenant :
\[ g(x)=(x+1)e^{1-x}. \]On a :
\[ g'(x)=-xe^{1-x}. \]La fonction \(g\) atteint donc son maximum en \(x=0\), et :
\[ g(x)\le g(0)=e. \]Alors :
\[ \begin{aligned} 21-h(x)-e^{1-x} &= 21-(x+1)e^{1-x}\\ &\ge 21-e\\ &>0. \end{aligned} \]Donc :
\[ 21-h(x)>e^{1-x}. \]La relation (3) donne alors :
\[ 0\lt -(y+1)\lt 1. \]Par conséquent :
\[ -1\lt y+1\lt 0, \]ce qui contredit la relation (2), selon laquelle \(y+1\lt -1\).
Le système n’admet donc aucun couple solution.
Résoudre dans \(\mathbb R^2\) :
\[ \begin{cases} 5^x\,5^{2y}=25,\\ \log_3x+\log_3(2y+3)=1. \end{cases} \]Lire la correction +Masquer la correction −
Les conditions de définition des logarithmes sont :
\[ x>0 \qquad\text{et}\qquad 2y+3>0. \]La première équation donne :
\[ 5^{x+2y}=5^2. \]La fonction \(t\mapsto5^t\) étant injective :
\[ x+2y=2. \tag{1} \]La deuxième équation devient :
\[ \log_3\left[x(2y+3)\right]=1. \]Donc :
\[ x(2y+3)=3. \tag{2} \]D’après (1) :
\[ 2y=2-x, \]puis :
\[ 2y+3=5-x. \]En utilisant (2) :
\[ x(5-x)=3. \]Donc :
\[ x^2-5x+3=0. \]Le discriminant vaut :
\[ \Delta=25-12=13. \]Ainsi :
\[ x_1=\frac{5-\sqrt{13}}2 \qquad\text{et}\qquad x_2=\frac{5+\sqrt{13}}2. \]Comme \(y=\dfrac{2-x}{2}\), on obtient :
\[ y_1= \frac{-1+\sqrt{13}}4 \]et :
\[ y_2= \frac{-1-\sqrt{13}}4. \]Pour chacun de ces couples, on a \(x>0\) et \(2y+3=\dfrac3x>0\). Les deux couples respectent donc le domaine.
Repères pratiques à retenir
- Poser \(u=a^x\) et \(v=b^y\) transforme souvent un système exponentiel en un système algébrique.
- Après une substitution, les nouvelles inconnues sont strictement positives : les racines négatives doivent être écartées.
- Une équation comportant des logarithmes exige d’abord la vérification de la positivité de tous leurs arguments.
- Pour établir qu’un système n’a aucune solution, une majoration ou une minoration peut conduire à deux conditions incompatibles.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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