Correction de l’exercice 29
Fonctions puissances — Systèmes exponentiels
2e Bac Sciences Mathématiques
Exercice 29 Résoudre dans \(\mathbb R^2\) les systèmes suivants
Résoudre dans \(\mathbb R^2\) :
\[ \begin{cases} 3^x+7^y=16,\\ 3^x-7^y=2. \end{cases} \]Lire la correction +Masquer la correction −
Posons :
\[ u=3^x \qquad\text{et}\qquad v=7^y. \]Le système devient :
\[ \begin{cases} u+v=16,\\ u-v=2. \end{cases} \]En additionnant les deux équations :
\[ 2u=18, \]d’où :
\[ u=9. \]Ensuite :
\[ v=16-9=7. \]On revient à \(x\) et \(y\) :
\[ 3^x=9=3^2 \iff x=2, \] \[ 7^y=7=7^1 \iff y=1. \]Résoudre dans \(\mathbb R^2\) :
\[ \begin{cases} 2^{x-2}\,2^{y-1}=1,\\ 2^x+2^y=5\sqrt2. \end{cases} \]Lire la correction +Masquer la correction −
La première équation donne :
\[ 2^{x+y-3}=1=2^0. \]La fonction \(t\mapsto2^t\) étant injective :
\[ x+y=3. \]Posons :
\[ u=2^x>0 \qquad\text{et}\qquad v=2^y>0. \]Comme \(x+y=3\), on a :
\[ uv=2^{x+y}=2^3=8. \]La deuxième équation donne :
\[ u+v=5\sqrt2. \]Les nombres \(u\) et \(v\) sont donc les racines de l’équation :
\[ t^2-5\sqrt2\,t+8=0. \]Son discriminant vaut :
\[ \Delta=(5\sqrt2)^2-4\times8=50-32=18. \]Ainsi :
\[ t_1= \frac{5\sqrt2-3\sqrt2}{2} = \sqrt2 = 2^{\frac12}, \] \[ t_2= \frac{5\sqrt2+3\sqrt2}{2} = 4\sqrt2 = 2^{\frac52}. \]On obtient donc deux possibilités :
\[ (u,v)= \left(2^{\frac12},2^{\frac52}\right) \]ou :
\[ (u,v)= \left(2^{\frac52},2^{\frac12}\right). \]Résoudre dans \(\mathbb R^2\) :
\[ \begin{cases} 4^x\,5^y=5^{2x+1},\\ 20^x+25^y=5^{2y+1}. \end{cases} \]Lire la correction +Masquer la correction −
Posons :
\[ a=\log_5 4. \]Comme \(1\lt 4\lt 5\), on a :
\[ 0\lt a\lt 1. \]Transformation de la première équation.
On a \(4^x=5^{ax}\). Par conséquent :
\[ 5^{ax+y}=5^{2x+1}. \]La fonction \(t\mapsto5^t\) étant injective :
\[ ax+y=2x+1. \]Donc :
\[ y=(2-a)x+1. \tag{1} \]Transformation de la deuxième équation.
\[ 20^x+25^y=5\times25^y. \]Donc :
\[ 20^x=4\times25^y. \]En prenant le logarithme de base \(5\) :
\[ x\log_5 20 = \log_5 4+2y. \]Or :
\[ \log_5 20 = \log_5(4\times5) = a+1. \]Ainsi :
\[ (a+1)x=a+2y. \tag{2} \]En remplaçant \(y\) donné par (1) dans (2) :
\[ (a+1)x = a+2\left[(2-a)x+1\right]. \]Donc :
\[ 3(a-1)x=a+2. \]Comme \(a\ne1\) :
\[ x= \frac{a+2}{3(a-1)}. \]Puis :
\[ \begin{aligned} y &= (2-a)\frac{a+2}{3(a-1)}+1\\ &= \frac{1+3a-a^2}{3(a-1)}. \end{aligned} \]Avec \(a=\log_5 4\), on obtient :
\[ \boxed{ S= \left\{ \left( \frac{a+2}{3(a-1)}, \frac{1+3a-a^2}{3(a-1)} \right) \right\} } \]Résoudre dans \(\mathbb R^2\) :
\[ \begin{cases} 2^{x+y}=16\sqrt2,\\ 2^x+2^{x-y}=12\sqrt2. \end{cases} \]Lire la correction +Masquer la correction −
Posons :
\[ u=2^x>0 \qquad\text{et}\qquad v=2^y>0. \]La première équation devient :
\[ uv=16\sqrt2. \]Donc :
\[ v=\frac{16\sqrt2}{u}. \]La deuxième équation s’écrit :
\[ u+\frac{u}{v}=12\sqrt2. \]En remplaçant \(v\) :
\[ u+\frac{u^2}{16\sqrt2}=12\sqrt2. \]En multipliant par \(16\sqrt2\) :
\[ u^2+16\sqrt2\,u-384=0. \]Le discriminant vaut :
\[ \Delta = (16\sqrt2)^2+4\times384 = 2048 = (32\sqrt2)^2. \]Les deux racines sont :
\[ u_1=8\sqrt2 \qquad\text{et}\qquad u_2=-24\sqrt2. \]Comme \(u>0\), on conserve seulement :
\[ u=8\sqrt2=2^{\frac72}. \]Donc :
\[ x=\frac72. \]Ensuite :
\[ v= \frac{16\sqrt2}{8\sqrt2} = 2 = 2^1. \]Ainsi \(y=1\).
Résoudre dans \(\mathbb R^2\) :
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{e^{x-1}} + \dfrac{2}{e^{y+1}} =13,\\[3mm] \dfrac{2xy+2x-2} {e^{x-1}(y+1)} =42. \end{cases} \]Lire la correction +Masquer la correction −
La deuxième équation impose \(y\ne-1\).
Considérons la fonction :
\[ h(x)=\frac{x}{e^{x-1}} = xe^{1-x}. \]Sa dérivée est :
\[ h'(x)=e^{1-x}(1-x). \]Ainsi, \(h\) est croissante sur \(]-\infty,1]\), puis décroissante sur \([1,+\infty[\). Elle atteint son maximum en \(x=1\) :
\[ h(1)=1. \]Par conséquent :
\[ \frac{x}{e^{x-1}}\le1. \tag{1} \]Conséquence de la première équation.
D’après (1) :
\[ \frac{2}{e^{y+1}} = 13-\frac{x}{e^{x-1}} \ge12. \]Donc :
\[ e^{-(y+1)}\ge6. \]La fonction logarithme étant croissante :
\[ -(y+1)\ge\ln6. \]Ainsi :
\[ y+1\le-\ln6\lt -1. \tag{2} \]Conséquence de la deuxième équation.
On écrit :
\[ 2xy+2x-2 = 2x(y+1)-2. \]La deuxième équation devient :
\[ 2xe^{1-x} - \frac{2e^{1-x}}{y+1} = 42. \]En divisant par \(2\) :
\[ h(x) - \frac{e^{1-x}}{y+1} = 21. \]Donc :
\[ \frac{e^{1-x}}{y+1} = h(x)-21\lt 0. \]Il s’ensuit que \(y+1\lt 0\), et :
\[ -(y+1) = \frac{e^{1-x}}{21-h(x)}. \tag{3} \]Considérons maintenant :
\[ g(x)=(x+1)e^{1-x}. \]On a :
\[ g'(x)=-xe^{1-x}. \]La fonction \(g\) atteint donc son maximum en \(x=0\), et :
\[ g(x)\le g(0)=e. \]Alors :
\[ \begin{aligned} 21-h(x)-e^{1-x} &= 21-(x+1)e^{1-x}\\ &\ge 21-e\\ &>0. \end{aligned} \]Donc :
\[ 21-h(x)>e^{1-x}. \]La relation (3) donne alors :
\[ 0\lt -(y+1)\lt 1. \]Par conséquent :
\[ -1\lt y+1\lt 0, \]ce qui contredit la relation (2), selon laquelle \(y+1\lt -1\).
Le système n’admet donc aucun couple solution.
Résoudre dans \(\mathbb R^2\) :
\[ \begin{cases} 5^x\,5^{2y}=25,\\ \log_3x+\log_3(2y+3)=1. \end{cases} \]Lire la correction +Masquer la correction −
Les conditions de définition des logarithmes sont :
\[ x>0 \qquad\text{et}\qquad 2y+3>0. \]La première équation donne :
\[ 5^{x+2y}=5^2. \]La fonction \(t\mapsto5^t\) étant injective :
\[ x+2y=2. \tag{1} \]La deuxième équation devient :
\[ \log_3\left[x(2y+3)\right]=1. \]Donc :
\[ x(2y+3)=3. \tag{2} \]D’après (1) :
\[ 2y=2-x, \]puis :
\[ 2y+3=5-x. \]En utilisant (2) :
\[ x(5-x)=3. \]Donc :
\[ x^2-5x+3=0. \]Le discriminant vaut :
\[ \Delta=25-12=13. \]Ainsi :
\[ x_1=\frac{5-\sqrt{13}}2 \qquad\text{et}\qquad x_2=\frac{5+\sqrt{13}}2. \]Comme \(y=\dfrac{2-x}{2}\), on obtient :
\[ y_1= \frac{-1+\sqrt{13}}4 \]et :
\[ y_2= \frac{-1-\sqrt{13}}4. \]Pour chacun de ces couples, on a \(x>0\) et \(2y+3=\dfrac3x>0\). Les deux couples respectent donc le domaine.
Repères pratiques à retenir
- Poser \(u=a^x\) et \(v=b^y\) transforme souvent un système exponentiel en un système algébrique.
- Après une substitution, les nouvelles inconnues sont strictement positives : les racines négatives doivent être écartées.
- Une équation comportant des logarithmes exige d’abord la vérification de la positivité de tous leurs arguments.
- Pour établir qu’un système n’a aucune solution, une majoration ou une minoration peut conduire à deux conditions incompatibles.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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